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Exercice 2

Point d'intersection de deux droites Niveau : Facile

1 Énoncé

Soient $E$ et $F$ deux points du plan tels que : $\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF}$ et $E \in (AB)$.

On sait que $G$ est le barycentre des points $(A; 2)$ et $(B; -3)$.

Montrer que $G$ est le barycentre des points $(E; -1)$ et $(F; 2)$.

✅ Solution détaillée

On sait que : $\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF}$

Étape 1 : On utilise la relation de Chasles :

$$\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF} = 2(\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GF})$$

Étape 2 : On développe :

$$\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EG} + 2\overrightarrow{GF}$$

Étape 3 : On transpose les termes :

$$\overrightarrow{EG} - 2\overrightarrow{EG} - 2\overrightarrow{GF} = 0$$ $$-1\overrightarrow{EG} - 2\overrightarrow{GF} = 0$$ $$-1\overrightarrow{EG} + 2\overrightarrow{FG} = 0$$

Étape 4 : On change le signe de $\overrightarrow{EG}$ en $\overrightarrow{GE}$ :

$$-\overrightarrow{GE} + 2\overrightarrow{FG} = 0$$ $$\overrightarrow{GE} = 2\overrightarrow{FG}$$

Étape 5 : On réécrit sous la forme du barycentre :

$$-1\overrightarrow{GE} + 2\overrightarrow{GF} = 0$$

Conclusion

$G$ est le barycentre du système pondéré :

$$G = \text{Bar}\{(E, -1); (F, 2)\}$$

En déduire que les droites $(EF)$ et $(AB)$ se coupent et déterminer le point d'intersection.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : D'après la question 1, $G$ est le barycentre des points $(E; -1)$ et $(F; 2)$.

Étape 2 : Or, le barycentre de deux points est toujours aligné avec ces deux points.
Donc : $G \in (EF)$.

Étape 3 : On sait aussi que $G$ est le barycentre des points $(A; 2)$ et $(B; -3)$.
Donc : $G \in (AB)$.

Étape 4 : Puisque $G \in (EF)$ et $G \in (AB)$, on a :
$(EF) \cap (AB) = \{G\}$.

Conclusion

Les droites $(EF)$ et $(AB)$ se coupent au point $G$.

Les droites (EF) et (AB) se coupent en G

Exercice 1 Exercice 3