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Exercice 7

Cercles - Médiatrice Niveau : Difficile

1 Exercice 7 - Énoncé

Soit $ABC$ un triangle tel que :

$$AC = 6\text{ cm},\quad AB = 5\text{ cm},\quad BC = 4\text{ cm}$$

Construire $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A, 1); (B, 2); (C, 1)\}$.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : On a $G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2); (C, 1)\}$.
La somme des poids est : $1 + 2 + 1 = 4 \neq 0$ ✅

Étape 2 : On utilise l'associativité.
Soit $I$ le barycentre de $\{(B, 1); (C, 1)\}$.
$I$ est le milieu de $[BC]$.

Étape 3 : D'après l'associativité :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (I, 2)\}$$

Étape 4 : Pour construire $G$ :

$$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{1+2}\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$$

Conclusion

$G$ est situé aux $\frac{2}{3}$ de la médiane $[AI]$.

$G$ est le milieu du segment $[BI]$.

Déterminer et construire l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tel que :

$$\|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = AC$$

✅ Solution détaillée

Étape 1 : D'après la propriété caractéristique du barycentre :

$$\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (1+2+1)\overrightarrow{MG} = 4\overrightarrow{MG}$$

Étape 2 : L'équation devient :

$$\|4\overrightarrow{MG}\| = AC = 6\text{ cm}$$

Étape 3 : On simplifie :

$$4 \times MG = 6 \iff MG = \frac{6}{4} = 1.5\text{ cm}$$

Conclusion

L'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $r = 1.5$ cm.

$$(E) = \mathcal{C}(G, 1.5)$$

Cercle (E) de centre G et rayon 1.5 cm

Déterminer et construire l'ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tel que :

$$\|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = \|3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MC}\|$$

✅ Solution détaillée

Étape 1 : Soit $G'$ le barycentre de $\{(A, 3); (C, 1)\}$.
La somme des poids est : $3 + 1 = 4$.

Étape 2 : D'après la propriété caractéristique :

$$3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG'}$$

Étape 3 : On a aussi :

$$\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG}$$

Étape 4 : L'égalité devient :

$$\|4\overrightarrow{MG}\| = \|4\overrightarrow{MG'}\| \iff MG = MG'$$

Étape 5 : $MG = MG'$ signifie que $M$ est équidistant de $G$ et $G'$.

Conclusion

L'ensemble $(F)$ est la médiatrice du segment $[GG']$.

On a : $\overrightarrow{AG'} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$.

Médiatrice de [GG']

Exercice 6 Exercice 8