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Partie 1 : Barycentre de deux points pondérés

Table des matières

1 Activité

A et B deux points du plan $(P)$ tel que $I$ est le milieu de $[A,B]$, et $G$ est un point du plan $(P)$.

1. Déterminer $G$ de $(P)$ tel que : $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$.
2. Construire tel que : $\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$.
3. Combien existe de point $G$ tel que : $2\overrightarrow{GA} - 3\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$ ?
4. Existe-t-il de point $G$ tel que : $3\overrightarrow{GA} - 3\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$ ?

📐 Activité - Barycentre de deux points

Point G tel que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$ (milieu de [AB])

Solution détaillée
Question 1 : $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$
Explication : La somme des vecteurs $\overrightarrow{GA}$ et $\overrightarrow{GB}$ est nulle, donc $\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{GB}$. Cela signifie que les vecteurs sont opposés, donc $G$ est le milieu du segment $[AB]$.
Résultat : $G$ est le milieu de $[AB]$.
Question 2 : $\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$
Explication : On utilise la relation de Chasles : $\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BA}$. Mais il est plus simple d'utiliser la formule $\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$ avec $a=1$ et $b=2$.
$\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{1+2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$
Résultat : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, donc $G$ est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de $[AB]$ à partir de $A$.
Question 3 : $2\overrightarrow{GA} - 3\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$
Explication : On a $a=2$ et $b=-3$ (car $-3\overrightarrow{GB}$). La somme $a+b = 2-3 = -1 \neq 0$. Donc le barycentre existe et est unique.
$\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} = \dfrac{-3}{2-3}\overrightarrow{AB} = \dfrac{-3}{-1}\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AB}$
Résultat : $\overrightarrow{AG} = 3\overrightarrow{AB}$, donc $G$ est sur la droite $(AB)$ au-delà de $B$ tel que $AG = 3AB$.
Question 4 : $3\overrightarrow{GA} - 3\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$
Explication : $3\overrightarrow{GA} - 3\overrightarrow{GB} = 3(\overrightarrow{GA} - \overrightarrow{GB}) = 3\overrightarrow{BA}$. Donc $3\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$.
Résultat : Impossible car $A \neq B$. Donc il n'existe aucun point $G$.

2 Vocabulaire

Vocabulaire
  • Dans l'écriture : $a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$.
  • Le nombre $a$ s'appelle le poids du point $A$.
  • Le couple $(A,a)$ est appelé point pondéré.
  • L'ensemble $S = \{(A,a), (B,b)\}$ est appelé système pondéré.
  • Si $a+b \neq 0$, le point $G$ s'appelle barycentre du système pondéré $S$.
  • Si $a = b$ et $a \neq 0$, le point $G$ s'appelle isobarycentre de $A$ et $B$.

3 Définition et théorème

Définition

Soient $(A,a)$ et $(B,b)$ deux points pondérés du plan $(P)$, avec $A \neq B$ et $a,b \in \mathbb{R}$.

Si $a+b \neq 0$, il existe un point unique $G$ de $(P)$ tel que :

$$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$$

Le point $G$ s'appelle le barycentre du système pondéré $S = \{(A,a), (B,b)\}$.

Démonstration :

$$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \iff (a+b)\overrightarrow{AG} = b\overrightarrow{AB}$$ $$\iff \overrightarrow{AG} = \frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$$

Puisque $A$ et $B$ sont fixes et $\frac{b}{a+b}$ est un réel fixe, le point $G$ est unique.

Résumé
  • Pour $a+b \neq 0$, $G$ est unique.
  • $\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$.
  • Si $a+b = 0$, le barycentre n'existe pas.
📝 Exercice 1

Déterminer le barycentre de $S = \{(A, 2), (B, 3)\}$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : On identifie les poids : $a = 2$ et $b = 3$.
Étape 2 : On calcule $a+b = 2+3 = 5 \neq 0$. Donc le barycentre existe.
Étape 3 : On utilise la formule $\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$.
Étape 4 : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{2+3}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
Conclusion

$G$ est situé sur le segment $[AB]$ tel que $AG = \dfrac{3}{5}AB$.

(G est plus proche de $B$ car son poids est plus grand)

4 Propriétés du barycentre de deux points

4-1 Invariance

Théorème

Si $G$ est barycentre de $S = \{(A,a), (B,b)\}$, alors pour tout $k \in \mathbb{R}^*$, $G$ est aussi barycentre de $\{(A,ka), (B,kb)\}$.

Le barycentre ne change pas si on multiplie les poids par un même réel non nul.

4-2 Propriété caractéristique

Théorème

$G$ est barycentre de $\{(A,a), (B,b)\}$ ssi :

$$a+b \neq 0 \quad \text{et} \quad \forall M \in (P) : a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG}$$

📐 Propriété caractéristique

$a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG}$

4-3 Construction de G

Méthode

On divise le segment $[AB]$ en $|a+b|$ segments égaux.

  • Si $\frac{b}{a+b} > 0$ : $G$ est dans le sens $A \to B$.
  • Si $\frac{b}{a+b} < 0$ : $G$ est dans le sens opposé.
Résumé
  • Invariance : multiplier les poids par $k \neq 0$.
  • Caractéristique : $a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG}$.
  • Construction : $\overrightarrow{AG} = \frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$.

5 Applications

a. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan $(P)$ tel que : $2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = 12$.

Correction détaillée
Étape 1 : On identifie les poids : $a = 2$ et $b = 4$. On calcule $a+b = 2+4 = 6 \neq 0$.
Étape 2 : Soit $G$ le barycentre de $\{(A,2), (B,4)\}$.
Étape 3 : D'après la propriété caractéristique :
$2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = (2+4)\overrightarrow{MG} = 6\overrightarrow{MG}$
Étape 4 : L'équation devient : $6\overrightarrow{MG} = 12 \iff \overrightarrow{MG} = 2$.
Étape 5 : $\overrightarrow{MG} = 2$ signifie que la distance $MG = 2$.
Conclusion

L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $2$.

Notation : $\mathcal{C}(G, 2)$

📐 Ensemble des points M (cercle)

Cercle $\mathcal{C}(G, 2)$

b. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan $(P)$ tel que : $2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}$.

Correction détaillée
Étape 1 : Soit $G$ le barycentre de $\{(A,2), (B,4)\}$. Alors $2\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} = 6\overrightarrow{MG}$.
Étape 2 : Soit $G'$ le barycentre de $\{(A,4), (B,2)\}$. Alors $4\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = 6\overrightarrow{MG'}$.
Étape 3 : L'équation devient : $6\overrightarrow{MG} = 6\overrightarrow{MG'} \iff \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MG'}$.
Étape 4 : $\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MG'}$ signifie que $M$ est équidistant de $G$ et $G'$.
Conclusion

L'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[GG']$.

(C'est la droite perpendiculaire à $(GG')$ passant par son milieu)

📐 Ensemble des points M (médiatrice)

Médiatrice de $[GG']$

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