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Partie 3 : Barycentre de quatre points pondérés

Table des matières

1 Activité

Soit ABCD un parallélogramme.

1. Déterminer $G_1$ barycentre de $(A,1)$ et $(B,1)$.
2. Déterminer $G_2$ barycentre de $(C,1)$ et $(D,1)$.
3. Existe-t-il un point $G$ tel que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ ?
4. Que peut-on déduire ?

📐 Parallélogramme ABCD

$O$ est le centre du parallélogramme (isobarycentre de A, B, C, D)

Solution détaillée
Question 1 : $G_1$ barycentre de $\{(A,1), (B,1)\}$
Explication : Les deux poids sont égaux ($a=b=1$), donc $G_1$ est l'isobarycentre de $A$ et $B$.
Résultat : $G_1$ est le milieu de $[AB]$.
Question 2 : $G_2$ barycentre de $\{(C,1), (D,1)\}$
Explication : Les deux poids sont égaux ($a=b=1$), donc $G_2$ est l'isobarycentre de $C$ et $D$.
Résultat : $G_2$ est le milieu de $[CD]$.
Question 3 : Existe-t-il $G$ tel que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ ?
Explication : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu $O$. Donc $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$
Résultat : Oui, $G = O$ (le centre du parallélogramme).
Question 4 : Que peut-on déduire ?
Résultat : $O$ est l'isobarycentre de $A, B, C, D$.
Interprétation : Le centre d'un parallélogramme est le barycentre des quatre sommets avec des poids égaux à 1.

2 Définition et théorème

Définition

Soient $(A,a)$, $(B,b)$, $(C,c)$, $(D,d)$ quatre points pondérés du plan $(P)$.

Si $a+b+c+d \neq 0$, il existe un point unique $G$ de $(P)$ tel que :

$$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} + d\overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$$

Le point $G$ s'appelle le barycentre du système pondéré $S = \{(A,a), (B,b), (C,c), (D,d)\}$.

Remarque :

  • Si $a = b = c = d \neq 0$, $G$ est l'isobarycentre des points $A, B, C, D$.
  • L'isobarycentre de quatre points est le centre de gravité du quadrilatère.

📐 Barycentre de quatre points

$G$ barycentre de $\{(A,1), (B,1), (C,1), (D,1)\}$

Résumé
  • Pour $a+b+c+d \neq 0$, $G$ est unique.
  • Si $a+b+c+d = 0$, le barycentre n'existe pas.
  • L'isobarycentre est le centre de gravité.
📝 Exercice 1

Montrer que le centre $O$ d'un parallélogramme $ABCD$ est l'isobarycentre de $A, B, C, D$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : Dans un parallélogramme, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu $O$.
Étape 2 : Donc $O$ est le milieu de $[AC]$, c'est-à-dire $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$.
Étape 3 : De même, $O$ est le milieu de $[BD]$, c'est-à-dire $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$.
Étape 4 : On additionne les deux égalités :
$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0}$
Étape 5 : $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$.
Conclusion

$O$ est l'isobarycentre de $A, B, C, D$.

(C'est le barycentre de poids tous égaux à 1)

3 Propriétés

3-1 Invariance

Théorème

Si $G$ est barycentre de $S$, alors pour tout $k \in \mathbb{R}^*$, $G$ est aussi barycentre de $\{(A,ka), (B,kb), (C,kc), (D,kd)\}$.

3-2 Propriété caractéristique

Théorème

$G$ est barycentre de $S$ ssi :

$$a+b+c+d \neq 0 \quad \text{et} \quad \forall M \in (P) : a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} + d\overrightarrow{MD} = (a+b+c+d)\overrightarrow{MG}$$

3-3 Associativité

Théorème

Le barycentre de quatre points ne change pas si on remplace deux points par leur barycentre.

Cas 1

$G$ barycentre de $\{(G_1, a+b), (G_2, c+d)\}$

où $G_1$ barycentre de $\{(A,a), (B,b)\}$

et $G_2$ barycentre de $\{(C,c), (D,d)\}$

Cas 2

$G$ barycentre de $\{(G_3, a+b+c), (D,d)\}$

où $G_3$ barycentre de $\{(A,a), (B,b), (C,c)\}$

📐 Associativité du barycentre

$G$ barycentre de $\{(G_1, a+b), (G_2, c+d)\}$

Résumé
  • Invariance : multiplier les poids par $k \neq 0$.
  • Caractéristique : $a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} + d\overrightarrow{MD} = (a+b+c+d)\overrightarrow{MG}$.
  • Associativité : on peut remplacer deux points par leur barycentre.
📝 Exercice 2

Soit $G$ barycentre de $\{(A, 2), (B, 3), (C, 1), (D, 4)\}$. Vérifier que $G$ est aussi barycentre de $\{(G_1, 5), (G_2, 5)\}$ où $G_1$ est barycentre de $\{(A,2), (B,3)\}$ et $G_2$ barycentre de $\{(C,1), (D,4)\}$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : $G_1$ est barycentre de $\{(A,2), (B,3)\}$. Donc son poids total est $2+3=5$.
Étape 2 : $G_2$ est barycentre de $\{(C,1), (D,4)\}$. Donc son poids total est $1+4=5$.
Étape 3 : D'après la propriété d'associativité, on peut remplacer $(A,2)$ et $(B,3)$ par $(G_1,5)$.
Étape 4 : On peut remplacer $(C,1)$ et $(D,4)$ par $(G_2,5)$.
Étape 5 : Donc $G$ est barycentre de $\{(G_1,5), (G_2,5)\}$.
Conclusion

$G$ est barycentre de $\{(G_1,5), (G_2,5)\}$.

(Les deux systèmes ont le même barycentre $G$)

4 Coordonnées du barycentre

Propriété

Soit $G$ barycentre de $\{(A,a), (B,b), (C,c), (D,d)\}$.

Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, les coordonnées de $G$ sont :

$$x_G = \frac{ax_A + bx_B + cx_C + dx_D}{a+b+c+d} \quad \text{et} \quad y_G = \frac{ay_A + by_B + cy_C + dy_D}{a+b+c+d}$$

📐 Coordonnées du barycentre

$G$ barycentre de $\{(A,1), (B,2), (C,3), (D,4)\}$

Résumé
  • Les coordonnées du barycentre sont les moyennes pondérées des coordonnées des points.
  • Généralisation à $n$ points.
📝 Exercice 3

Dans un repère, $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(2,2)$, $D(0,2)$. Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre de $A, B, C, D$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : L'isobarycentre a pour poids $a=b=c=d=1$.
Étape 2 : On calcule $a+b+c+d = 1+1+1+1 = 4 \neq 0$.
Étape 3 : On calcule l'abscisse $x_G$ :
$x_G = \dfrac{1 \times 0 + 1 \times 2 + 1 \times 2 + 1 \times 0}{4} = \dfrac{0+2+2+0}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$
Étape 4 : On calcule l'ordonnée $y_G$ :
$y_G = \dfrac{1 \times 0 + 1 \times 0 + 1 \times 2 + 1 \times 2}{4} = \dfrac{0+0+2+2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$
Conclusion

$G(1, 1)$ est le centre du carré.

(C'est le point d'intersection des diagonales du carré)

5 Résumé général

3 points

$a+b+c \neq 0$

$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AG} = \frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$

4 points

$a+b+c+d \neq 0$

$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} + d\overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

Généralisation

Propriétés communes

✅ Invariance

✅ Caractéristique

✅ Associativité

✅ Coordonnées

Partie 2 Résumé