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Série 1 - Généralités sur les fonctions

Exercices 1 à 10

1 Ensemble de définition

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

$f(x) = 3x^2 - x + 1$

✅ Solution

C'est une fonction polynôme, définie pour tout réel $x$.

Conclusion : $D_f = \mathbb{R}$

$f(x) = \dfrac{x^3}{2x-4}$

✅ Solution

La fonction est définie si le dénominateur est non nul :

Étape 1 : $2x-4 \neq 0 \iff 2x \neq 4 \iff x \neq 2$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

$f(x) = \dfrac{2x^4}{x^2-4}$

✅ Solution

La fonction est définie si le dénominateur est non nul :

Étape 1 : $x^2-4 \neq 0 \iff x^2 \neq 4 \iff x \neq \pm 2$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

$f(x) = \dfrac{7x-1}{x^3-2x}$

✅ Solution

La fonction est définie si le dénominateur est non nul :

Étape 1 : $x^3-2x = x(x^2-2) = x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$

Étape 2 : $x^3-2x = 0 \iff x = 0$ ou $x = \pm\sqrt{2}$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\}$

$f(x) = \sqrt{-3x+6}$

✅ Solution

La fonction est définie si l'expression sous la racine est positive ou nulle :

Étape 1 : $-3x+6 \ge 0 \iff -3x \ge -6 \iff x \le 2$

Conclusion : $D_f = ]-\infty, 2]$

$f(x) = \dfrac{x-5}{2x^2-5x-3}$

✅ Solution

La fonction est définie si le dénominateur est non nul :

Étape 1 : $2x^2-5x-3 = 0$

Étape 2 : $\Delta = 25 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49$

Étape 3 : $x_1 = \dfrac{5-7}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{5+7}{4} = 3$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}, 3\right\}$

$f(x) = \sqrt{x^2-3x+2}$

✅ Solution

La fonction est définie si $x^2-3x+2 \ge 0$.

Étape 1 : $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$

Étape 2 : Tableau de signe :

$x$	$-\infty$	$1$		$2$	$+\infty$
$(x-1)$	−	0	+	+	+
$(x-2)$	−	−	−	0	+
Produit	+	0	−	0	+

Conclusion : $D_f = ]-\infty, 1] \cup [2, +\infty[$

$f(x) = \sqrt{\dfrac{-3x+9}{x+1}}$

✅ Solution

La fonction est définie si $\dfrac{-3x+9}{x+1} \ge 0$ et $x+1 \neq 0$.

Étape 1 : $-3x+9 = -3(x-3)$

Étape 2 : Tableau de signe :

$x$	$-\infty$	$-1$		$3$	$+\infty$
$-3x+9$	+	+	+	0	−
$x+1$	−	0	+	+	+
Quotient	−	\|\|	+	0	−

Conclusion : $D_f = ]-1, 3]$

$f(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{-2x^2+x+3}}$

✅ Solution

La fonction est définie si $-2x^2+x+3 > 0$.

Étape 1 : $-2x^2+x+3 = 0 \iff 2x^2-x-3 = 0$

Étape 2 : $\Delta = 1 + 24 = 25$, $x_1 = -1$, $x_2 = \dfrac{3}{2}$

Étape 3 : $-2x^2+x+3 > 0 \iff x \in ]-1; \dfrac{3}{2}[$

Conclusion : $D_f = \left]-1, \dfrac{3}{2}\right[$

10)

$f(x) = \dfrac{|x-5|}{x^2+1}$

✅ Solution

Le dénominateur $x^2+1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Conclusion : $D_f = \mathbb{R}$

2 Parité

Étudier la parité des fonctions suivantes :

$f(x) = 3x^2 - 5$

✅ Solution

Étape 1 : $f(-x) = 3(-x)^2 - 5 = 3x^2 - 5 = f(x)$

Conclusion : $f$ est paire.

$f(x) = \dfrac{3}{x}$

✅ Solution

Étape 1 : $D_f = \mathbb{R}^*$ (symétrique par rapport à 0)

Étape 2 : $f(-x) = \dfrac{3}{-x} = -\dfrac{3}{x} = -f(x)$

Conclusion : $f$ est impaire.

$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x}$

✅ Solution

Étape 1 : $D_f = \mathbb{R}^*$ (symétrique)

Étape 2 : $f(-x) = \dfrac{(-x)^2-1}{-x} = \dfrac{x^2-1}{-x} = -\dfrac{x^2-1}{x} = -f(x)$

Conclusion : $f$ est impaire.

$f(x) = \sqrt{1-x^2}$

✅ Solution

Étape 1 : $D_f = [-1, 1]$ (symétrique)

Étape 2 : $f(-x) = \sqrt{1-(-x)^2} = \sqrt{1-x^2} = f(x)$

Conclusion : $f$ est paire.

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