Série 7 - Généralités sur les fonctions

49 Étude complète d'une fonction

Soit $f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{x}$

1)

Simplifier f(x) et déterminer $D_f$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{x} = \sqrt{x}$

Étape 2 : $\sqrt{x}$ est définie pour $x \ge 0$

Conclusion : $f(x) = \sqrt{x}$, $D_f = [0, +\infty[$

2)

Montrer que f est minorée

✅ Solution

Étape 1 : $\sqrt{x} \ge 0$ pour tout $x \ge 0$

Étape 2 : $f(0) = 0$

Conclusion : $f$ est minorée par $m = 0$ (atteint en $x=0$).

3)

Montrer que f n'est pas majorée

✅ Solution

Étape 1 : Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{x} \to +\infty$

Conclusion : $f$ n'est pas majorée sur $[0, +\infty[$.

50 Extremums d'une fonction composée

Soit $f(x) = 2x^2 + 2x + 1$

1)

Déterminer les extremums de f sur ℝ

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = 2\left(x^2 + x\right) + 1 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} + 1 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2}$

Étape 2 : $2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge \dfrac{1}{2}$

Étape 3 : $f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$

Conclusion : Le minimum absolu est $m = \dfrac{1}{2}$ atteint en $x = -\dfrac{1}{2}$.

f n'a pas de maximum (non majorée).

51 Résolution graphique d'équations

Soit $f(x) = -x^2 + 3x + 4$ et $g(x) = 2x + 1$

1)

Résoudre algébriquement $f(x) = g(x)$

✅ Solution

Étape 1 : $-x^2 + 3x + 4 = 2x + 1$

Étape 2 : $-x^2 + x + 3 = 0 \iff x^2 - x - 3 = 0$

Étape 3 : $\Delta = 1 + 12 = 13$

Étape 4 : $x_1 = \dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$, $x_2 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

Conclusion : $S = \left\{\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}, \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right\}$

2)

Résoudre graphiquement $f(x) \le g(x)$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) \le g(x) \iff -x^2 + 3x + 4 \le 2x + 1$

Étape 2 : $-x^2 + x + 3 \le 0 \iff x^2 - x - 3 \ge 0$

Étape 3 : $(x - \dfrac{1-\sqrt{13}}{2})(x - \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}) \ge 0$

Conclusion : $S = \left]-\infty, \dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\right] \cup \left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}, +\infty\right[$

52 Fonction périodique et calculs

Soit f une fonction périodique de période $T = 3$ telle que $f(x) = x^2$ pour $x \in [0;3]$

1)

Calculer $f(4)$, $f(-1)$, $f(7.5)$

✅ Solution

Étape 1 : $f(4) = f(4-3) = f(1) = 1^2 = 1$

Étape 2 : $f(-1) = f(-1+3) = f(2) = 2^2 = 4$

Étape 3 : $f(7.5) = f(7.5-6) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25$

Conclusion :

$f(4) = 1$
$f(-1) = 4$
$f(7.5) = 2.25$

2)

Donner l'expression de f sur $[3k; 3(k+1)]$

✅ Solution

Étape 1 : Pour $x \in [3k; 3(k+1)]$, on a $x-3k \in [0;3]$

Étape 2 : $f(x) = f(x-3k) = (x-3k)^2$

Conclusion : $f(x) = (x-3k)^2$ pour $x \in [3k; 3(k+1)]$

53 Fonctions et droites

Soit $f(x) = x^2 - 2x - 3$ et $g(x) = -x + 1$

1)

Trouver les points d'intersection de $(C_f)$ avec l'axe des abscisses

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = 0 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x-3)(x+1) = 0$

Conclusion : Points : $A(3,0)$ et $B(-1,0)$

2)

Résoudre algébriquement $f(x) = g(x)$

✅ Solution

Étape 1 : $x^2 - 2x - 3 = -x + 1$

Étape 2 : $x^2 - x - 4 = 0$

Étape 3 : $\Delta = 1 + 16 = 17$

Étape 4 : $x_1 = \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$

Conclusion : $S = \left\{\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}, \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\right\}$

3)

Résoudre graphiquement $f(x) \le g(x)$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) \le g(x) \iff x^2 - 2x - 3 \le -x + 1$

Étape 2 : $x^2 - x - 4 \le 0$

Étape 3 : Les racines sont $\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}$ et $\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$

Conclusion : $S = \left[\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}, \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\right]$

54 Fonction paire et symétrie

Soit $f(x) = \dfrac{|x|+1}{|x|-1}$

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

Étape 1 : $|x|-1 \neq 0 \iff |x| \neq 1 \iff x \neq \pm 1$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$

2)

Montrer que f est paire

✅ Solution

Étape 1 : $f(-x) = \dfrac{|-x|+1}{|-x|-1} = \dfrac{|x|+1}{|x|-1} = f(x)$

Conclusion : $f$ est paire donc $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$f(x) = \dfrac{|x|+1}{|x|-1}$ est paire

3)

Étudier les variations de f sur $[0,1[$ et sur $]1,+\infty[$

✅ Solution

Pour $x \ge 0$, $|x| = x$, donc $f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$

Étape 1 : $f'(x) = \dfrac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-2}{(x-1)^2} < 0$

Conclusion :

Sur $[0,1[$ : $f$ est strictement décroissante
Sur $]1,+\infty[$ : $f$ est strictement décroissante

(Par parité, f est croissante sur $]-1,0]$ et sur $]-\infty,-1[$)

4)

Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé

✅ Solution

La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Courbe de $f(x) = \dfrac{|x|+1}{|x|-1}$

Caractéristiques :

Asymptotes verticales : $x = -1$ et $x = 1$
Asymptote horizontale : $y = 1$
Symétrie par rapport à $(Oy)$