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Exercice 6

Tracteur - Grandes et petites roues Niveau : Difficile

1 Énoncé

La roue est une des plus belles inventions de l'homme. Nous allons étudier ses caractéristiques : son mouvement et sa vitesse dans le cas d'un tracteur agricole sous forme de jouet. Lorsque le tracteur se déplace à vitesse constante rectilignement, on compte le nombre de tours effectués par chaque roue pendant une minute grâce à un petit caillou blanc volontairement coincé sur chacun des pneus.

La grande roue de $7\text{ cm}$ de rayon a une vitesse de rotation de $18$ tours à la minute.
La petite roue de $3,5\text{ cm}$ de rayon a une vitesse de rotation de $36$ tours à la minute.

Tracteur - Grandes et petites roues

Calculer la vitesse angulaire de chaque roue. Quelle remarque faites-vous ?

✅ Solution

Étape 1 : Grande roue : $N_G = 18\text{ tr/min} = \frac{18}{60} = 0,3\text{ tr/s}$
$\omega_G = 2\pi N_G = 2\pi \times 0,3 \approx 1,88\text{ rad/s}$

Étape 2 : Petite roue : $N_P = 36\text{ tr/min} = \frac{36}{60} = 0,6\text{ tr/s}$
$\omega_P = 2\pi N_P = 2\pi \times 0,6 \approx 3,77\text{ rad/s}$

💡 Remarque : La petite roue tourne deux fois plus vite ($\omega_P = 2\omega_G$).

Calculer la distance parcourue par les deux pierres à chaque tour de roue.

✅ Solution

Étape 1 : La distance par tour est le périmètre :
Grande roue : $d_G = 2\pi R_G = 2\pi \times 0,07 \approx 0,44\text{ m}$

Étape 2 : Petite roue : $d_P = 2\pi R_P = 2\pi \times 0,035 \approx 0,22\text{ m}$

💡 La petite roue avance deux fois moins vite par tour.

Calculer la vitesse de chaque roue par rapport au sol. Conclure.

✅ Solution

Étape 1 : $v = R \cdot \omega$
Grande roue : $v_G = 0,07 \times 1,88 \approx 0,132\text{ m/s}$

Étape 2 : Petite roue : $v_P = 0,035 \times 3,77 \approx 0,132\text{ m/s}$

💡 Les deux roues avancent à la même vitesse par rapport au sol.

Quelle est pendant une minute :
• La distance parcourue par le tracteur.
• La distance parcourue par chaque pierre.
• Le nombre de tours effectués par chaque roue.

✅ Solution

Étape 1 : Distance parcourue par le tracteur (et chaque pierre) :

$$d = v \times t = 0,132 \times 60 = 7,92\text{ m}$$

Étape 2 : Nombre de tours :
Petite roue : $n_P = \frac{\omega_P \times t}{2\pi} = \frac{3,77 \times 60}{2\pi} \approx 36\text{ tours}$
Grande roue : $n_G = \frac{\omega_G \times t}{2\pi} = \frac{1,88 \times 60}{2\pi} \approx 18\text{ tours}$

                                Conclusion
                                Distance parcourue : \(7,92\text{ m}\)
Petite roue : \(36\) tours
Grande roue : \(18\) tours

                            

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