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Série 1 - Rotation d'un solide indéformable autour d'un axe fixe

Exercices 1 à 6

1 Exercice 1

Une roche est attachée au bout d'une corde mesurant \(1,00\text{ m}\). Si on lui fait décrire un mouvement circulaire uniforme, quelle distance parcourt-elle en \(10,0\) tours ?

Solution
✅ Solution détaillée
Étape 1 : Un tour correspond au périmètre du cercle :
$$P = 2\pi R$$

Avec \(R = 1,00\text{ m}\)

Étape 2 : Distance pour \(n\) tours :
$$d = n \times 2\pi R$$
Étape 3 : Application numérique :
$$d = 10 \times 2\pi \times 1,00$$
$$d = 62,8\text{ m}$$
Conclusion
$$d = 62,8\text{ m}$$

Trajectoire circulaire de la roche

2 Exercice 2

Un point P est situé à une distance \(R\) du centre O d'une roue. Quelle est la valeur de cette distance \(R\) si le point P parcourt en \(1,0\) tour une distance de \(3,0\text{ m}\) ?

Solution
✅ Solution détaillée
Étape 1 : La distance parcourue en 1 tour est le périmètre :
$$d = 2\pi R$$
Étape 2 : On isole \(R\) :
$$R = \frac{d}{2\pi}$$
Étape 3 : Application numérique :
$$R = \frac{3,0}{2\pi} = 0,477\text{ m}$$
Conclusion
$$R \approx 0,48\text{ m}$$

3 Exercice 3

Une roue en mouvement circulaire uniforme effectue \(20,0\) tours en \(8,0\text{ s}\).

a)

Quelle est la fréquence du mouvement ?

✅ Solution
Étape 1 : La fréquence est le nombre de tours par seconde :
$$N = \frac{n}{\Delta t}$$
Étape 2 : Application numérique :
$$N = \frac{20}{8} = 2,5\text{ Hz}$$
Conclusion
$$N = 2,5\text{ Hz}$$
b)

Quelle est la période du mouvement circulaire ?

✅ Solution
Étape 1 : La période est l'inverse de la fréquence :
$$T = \frac{1}{N}$$
Étape 2 : Application numérique :
$$T = \frac{1}{2,5} = 0,4\text{ s}$$
Conclusion
$$T = 0,4\text{ s}$$

4 Exercice 4

Un CD de \(12\text{ cm}\) de diamètre tourne à la fréquence de \(215\) tours par minute.

4.1)

Déterminer la période de rotation du CD.

✅ Solution
Étape 1 : Conversion de la fréquence en Hz :
$$N = 215\text{ tr/min} = \frac{215}{60} = 3,58\text{ Hz}$$
Étape 2 : La période :
$$T = \frac{1}{N} = \frac{60}{215} = 0,279\text{ s}$$
Conclusion
$$T = 0,28\text{ s}$$
4.2)

Déterminer la vitesse angulaire de rotation du CD.

✅ Solution
Étape 1 : La vitesse angulaire :
$$\omega = 2\pi N$$
Étape 2 : Application numérique :
$$\omega = 2\pi \times 3,58 = 22,5\text{ rad/s}$$
Conclusion
$$\omega = 22,5\text{ rad/s}$$
4.3)

Déterminer la vitesse linéaire d'un point de la périphérie du disque.

✅ Solution
Étape 1 : Rayon du CD : \(R = \frac{12}{2} = 6\text{ cm} = 0,06\text{ m}\)
Étape 2 : La vitesse linéaire :
$$v = R \cdot \omega = 0,06 \times 22,5 = 1,35\text{ m/s}$$
Conclusion
$$v = 1,35\text{ m/s}$$
4.4)

Déterminer la vitesse linéaire d'un point situé à \(2,0\text{ cm}\) du centre du CD.

✅ Solution
Étape 1 : \(R' = 2,0\text{ cm} = 0,02\text{ m}\)
Étape 2 :
$$v' = R' \cdot \omega = 0,02 \times 22,5 = 0,45\text{ m/s}$$
Conclusion
$$v' = 0,45\text{ m/s}$$

Vitesse linéaire en fonction du rayon

5 Exercice 5

Une scie circulaire d'un diamètre de \(50\text{ cm}\) tourne à vitesse angulaire constante. La vitesse linéaire d'une de ses dents est \(v = 36\text{ m/s}\).

5.1)

Quelle est la distance parcourue par une dent pendant \(3\text{ min}\) ?

✅ Solution
Étape 1 : \(v = 36\text{ m/s}\), \(t = 3\text{ min} = 180\text{ s}\)
Étape 2 :
$$d = v \times t = 36 \times 180 = 6480\text{ m}$$
Conclusion
$$d = 6480\text{ m} = 6,48\text{ km}$$
5.2)

Calculer la vitesse angulaire de la scie.

✅ Solution
Étape 1 : Diamètre \(D = 50\text{ cm} = 0,50\text{ m}\), donc \(R = 0,25\text{ m}\)
Étape 2 :
$$\omega = \frac{v}{R} = \frac{36}{0,25} = 144\text{ rad/s}$$
Conclusion
$$\omega = 144\text{ rad/s}$$
5.3)

En déduire sa fréquence.

✅ Solution
Étape 1 :
$$N = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{144}{2\pi} = 22,9\text{ Hz}$$
Conclusion
$$N = 22,9\text{ Hz}$$

6 Exercice 6

Un tracteur agricole (jouet) possède deux roues :

  • La grande roue de \(7\text{ cm}\) de rayon a une vitesse de rotation de \(18\) tours par minute.
  • La petite roue de \(3,5\text{ cm}\) de rayon a une vitesse de rotation de \(36\) tours par minute.
1)

Calculer la vitesse angulaire de chaque roue. Quelle remarque faites-vous ?

✅ Solution
Grande roue :
$$\omega_g = 18\text{ tr/min} = \frac{18}{60} = 0,3\text{ tr/s} = 0,3 \times 2\pi = 1,88\text{ rad/s}$$
Petite roue :
$$\omega_p = 36\text{ tr/min} = \frac{36}{60} = 0,6\text{ tr/s} = 0,6 \times 2\pi = 3,77\text{ rad/s}$$
Remarque

La petite roue tourne deux fois plus vite que la grande roue.

2)

Calculer la distance parcourue par les deux pierres à chaque tour de roue.

✅ Solution
Grande roue :
$$d_g = 2\pi R_g = 2\pi \times 0,07 = 0,44\text{ m}$$
Petite roue :
$$d_p = 2\pi R_p = 2\pi \times 0,035 = 0,22\text{ m}$$
Remarque

La petite roue avance deux fois moins vite par tour.

3)

Calculer la vitesse de chaque roue par rapport au sol. Conclure.

✅ Solution
Grande roue :
$$v_g = R_g \cdot \omega_g = 0,07 \times 1,88 = 0,132\text{ m/s}$$
Petite roue :
$$v_p = R_p \cdot \omega_p = 0,035 \times 3,77 = 0,132\text{ m/s}$$
Conclusion

Les deux roues avancent à la même vitesse par rapport au sol, même si la petite roue tourne deux fois plus vite.

4)

Pendant une minute :

  • La distance parcourue par le tracteur.
  • La distance parcourue par chaque pierre.
  • Le nombre de tours effectués par chaque roue.

✅ Solution
Distance parcourue par le tracteur :
$$d = v \times t = 0,132 \times 60 = 7,92\text{ m}$$
Distance parcourue par chaque pierre :
$$s = v \times t = 0,132 \times 60 = 7,92\text{ m}$$
Nombre de tours :
Petite roue : \(n_p = \omega_p \times t / 2\pi = 3,77 \times 60 / 2\pi = 36\) tours
Grande roue : \(n_g = \omega_g \times t / 2\pi = 1,88 \times 60 / 2\pi = 18\) tours
Conclusion
  • Distance parcourue : \(7,92\text{ m}\)
  • Petite roue : \(36\) tours
  • Grande roue : \(18\) tours

Comparaison des deux roues

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