Série 1 - Travail et énergie cinétique

1 Exercice 1

QCM - Énergie cinétique

1)

L'énergie cinétique est une grandeur :

☐ algébrique ☐ vectorielle ☐ numérique positive

✅ Solution

☑ numérique positive

L'énergie cinétique $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ est une grandeur scalaire positive (produit d'une masse positive et d'un carré de vitesse).

2)

L'unité de l'énergie cinétique est :

☐ joule (J) ☐ watt (W) ☐ ampère (A) ☐ newton (N)

✅ Solution

☑ joule (J)

L'énergie cinétique est une forme d'énergie, son unité est le joule (J).

1 J = 1 kg.m².s⁻²

3)

Lorsque la vitesse $v$ du solide double, son énergie cinétique :

☐ reste la même ☐ double ☐ multiplie par 3 ☐ multiplie par 4

✅ Solution

☑ multiplie par 4

$E_c = \frac{1}{2}mv^2$ donc si $v' = 2v$ :

$$E_c' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 4 \times \frac{1}{2}mv^2 = 4E_c$$

4)

L'énergie cinétique d'un corps solide de moment d'inertie $J_{\Delta}$, en mouvement de rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ avec une vitesse angulaire $\omega$ est :

☐ $E_c = \frac{1}{2}J_{\Delta}\omega^2$ ☐ $E_c = \frac{1}{2}M\omega^2$ ☐ $E_c = J_{\Delta}\omega^2$

✅ Solution

☑ $E_c = \frac{1}{2}J_{\Delta}\omega^2$

L'énergie cinétique de rotation est :

$$E_c = \frac{1}{2}J_{\Delta}\omega^2$$

$J_{\Delta}$ en kg.m², $\omega$ en rad.s⁻¹

2 Exercice 2

Répondre par Vrai ou Faux.

1)

L'énergie cinétique d'un objet dépend-elle du référentiel d'étude ?

✅ Solution

VRAI

La vitesse dépend du référentiel, donc l'énergie cinétique aussi.

2)

Est-il possible que l'énergie cinétique d'un solide ne varie pas alors qu'il est soumis à des forces extérieures de résultante non nulle ?

✅ Solution

VRAI

Si la résultante est perpendiculaire au mouvement (ex: mouvement circulaire uniforme), le travail de la résultante est nul, donc $\Delta E_c = 0$.

3)

L'énergie cinétique d'un objet soumis uniquement à l'action de son poids augmente-t-elle toujours ?

✅ Solution

FAUX

Le poids peut être moteur (chute libre) ou résistant (lancer vertical vers le haut).

4)

Dans l'expression de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique s'exprime en joule, la masse en kilogramme et la vitesse en kilomètre par heure.

✅ Solution

FAUX

La vitesse doit être exprimée en m.s⁻¹ (mètre par seconde).

5)

Lorsqu'un solide est en mouvement à vitesse constante, le travail de chacune des forces extérieures appliquées est nul.

✅ Solution

FAUX

Seul le travail de la résultante est nul ($W(\sum\vec{F}) = 0$). Des forces individuelles peuvent travailler (ex: force de traction et frottement).

3 Exercice 3

Un mobile de $100\text{ kg}$, initialement au repos, est propulsé par une force $\vec{F}$ sur un plan horizontal de longueur $AB = 10\text{ m}$. À la fin de la propulsion, le mobile atteint la vitesse de $18\text{ km/h}$ et gravit un plan incliné d'un angle de $15^\circ$. Sur le plan incliné, il existe des forces de frottement $f = 10\text{ N}$.

Mobile sur plan horizontal puis incliné

1)

La norme de la force de propulsion $F$ vaut :

☐ A. 125 N ☐ B. 250 N ☐ C. 500 N ☐ D. 750 N

✅ Solution

☑ A. 125 N

Étape 1 : Conversion de la vitesse :

$$v = 18\text{ km/h} = 5\text{ m/s}$$

Étape 2 : Théorème de l'énergie cinétique sur AB :

$$\Delta E_c = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = F \cdot AB$$

Étape 3 :

$$F = \frac{mv^2}{2 \cdot AB} = \frac{100 \times 25}{2 \times 10} = 125\text{ N}$$

Réponse

$F = 125\text{ N}$

2)

Jusqu'à quelle hauteur le mobile peut-il arriver ?

☐ A. 0,6 m ☐ B. 1,2 m ☐ C. 5,8 m ☐ D. 10,3 m

✅ Solution

☑ B. 1,2 m

Étape 1 : Théorème de l'énergie cinétique sur le plan incliné :

$$0 - \frac{1}{2}mv^2 = -mgh - f \cdot L$$

Avec $L = \frac{h}{\sin\alpha}$

Étape 2 :

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh + f \cdot \frac{h}{\sin\alpha}$$

Étape 3 : On isole $h$ :

$$h = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mg + \frac{f}{\sin\alpha}} = \frac{1250}{1000 + \frac{10}{0,259}} = \frac{1250}{1038,6} \approx 1,2\text{ m}$$

Réponse

$h \approx 1,2\text{ m}$

4 Exercice 4

Un obus de $50\text{ kg}$ est lancé par un canon avec une vitesse de $700\text{ m/s}$ ; il retombe sur le plan horizontal de départ avec une vitesse de $400\text{ m/s}$.

Trajectoire de l'obus

1)

Calculer la variation de l'énergie cinétique de l'obus entre le départ et l'arrivée.

✅ Solution

Étape 1 :

$$\Delta E_c = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2) = \frac{1}{2} \times 50 \times (400^2 - 700^2)$$

Étape 2 :

$$\Delta E_c = 25 \times (160000 - 490000) = 25 \times (-330000) = -8,25 \times 10^6\text{ J}$$

Réponse

$\Delta E_c = -8,25 \times 10^6\text{ J}$

2)

Calculer le travail du poids de l'obus au cours de son déplacement.

✅ Solution

Le départ et l'arrivée sont à la même altitude ($z_i = z_f$), donc :

$$W(\vec{P}) = mg(z_i - z_f) = 0\text{ J}$$

Réponse

$W(\vec{P}) = 0\text{ J}$

3)

Montrer qu'il existe une autre force agissant sur l'obus.

✅ Solution

D'après le théorème de l'énergie cinétique :

$$\Delta E_c = W(\vec{P}) + W(\vec{F}_{autre})$$

Comme $\Delta E_c \neq 0$ et $W(\vec{P}) = 0$, on a $W(\vec{F}_{autre}) \neq 0$.

Il existe donc une autre force (résistance de l'air).

4)

Quelle est la nature du travail de cette force ? En déduire l'orientation de cette force.

✅ Solution

$W(\vec{F}_{autre}) = \Delta E_c = -8,25 \times 10^6\text{ J} < 0$

Le travail est résistant, donc la force est opposée au mouvement.

Il s'agit de la force de frottement de l'air.

5)

Quel est l'effet de cette force sur l'obus ?

✅ Solution

La résistance de l'air diminue la vitesse de l'obus.

Elle dissipe une partie de l'énergie cinétique sous forme de chaleur.

5 Exercice 5

Un pendule simple est constitué d'une bille métallique ponctuelle de masse $m = 200\text{ g}$, accrochée à l'extrémité libre d'un fil inextensible et de masse négligeable, de longueur $l = 20\text{ cm}$. On écarte le pendule de sa position d'équilibre stable E d'un angle $\theta_0 = 20^\circ$ et on le lâche sans vitesse initiale.

$g = 9,80\text{ N.kg}^{-1}$

Pendule simple - Oscillation

1)

Faire le bilan des forces exercées sur la bille.

✅ Solution

$\vec{P}$ : Poids de la bille (vertical vers le bas).
$\vec{T}$ : Tension du fil (direction du fil).

2)

Montrer que le travail de la tension du fil est nul.

✅ Solution

La tension $\vec{T}$ est toujours perpendiculaire au déplacement de la bille.

$$W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \vec{d} = T \cdot d \cdot \cos 90^\circ = 0$$

3)

Déterminer le travail du poids de $\theta_0$ à $\theta$.

✅ Solution

$$W(\vec{P}) = mgl(\cos\theta - \cos\theta_0)$$

Travail positif si $\theta < \theta_0$ (moteur).

4)

Calculer la vitesse à la position d'équilibre E.

✅ Solution

Étape 1 : Théorème de l'énergie cinétique :

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos\theta_0)$$

Étape 2 :

$$v = \sqrt{2gl(1 - \cos\theta_0)} = \sqrt{2 \times 9,80 \times 0,20 \times (1 - \cos 20^\circ)}$$

Étape 3 :

$$v \approx \sqrt{3,92 \times 0,0603} \approx 0,486\text{ m/s}$$

Réponse

$v_E \approx 0,486\text{ m/s}$

5)

Calculer la cote $z_A$ et l'angle $\theta$.

✅ Solution

Par symétrie, l'angle $ \theta_A = \theta_0 = 20^\circ $ et la hauteur $z_A = l(1 - \cos\theta_0)$.

$$z_A = 0,20 \times (1 - \cos 20^\circ) = 0,20 \times 0,0603 \approx 0,0121\text{ m}$$

Réponse

$z_A \approx 1,21\text{ cm}$, $\theta_A = 20^\circ$

6 Exercice 6

Une voiture de masse $m$ est animée d'une vitesse de $90\text{ km/h}$ sur une route horizontale. Le conducteur freine. L'action de la route sur les pneus fait un angle $\phi = 26^\circ$ avec la normale au sol.

Freinage d'une voiture

1)

Exprimer la force de frottement en fonction du poids. En déduire la distance d'arrêt. Dépend-elle de la masse ?

✅ Solution

Étape 1 : Force de frottement :

$$f = \tan\phi \cdot mg = \tan 26^\circ \cdot mg \approx 0,488mg$$

Étape 2 : Théorème de l'énergie cinétique :

$$0 - \frac{1}{2}mv^2 = -f \cdot d$$

Étape 3 :

$$d = \frac{mv^2}{2f} = \frac{mv^2}{2 \times 0,488mg} = \frac{v^2}{0,976g}$$

Étape 4 : $v = 90\text{ km/h} = 25\text{ m/s}$

$$d = \frac{625}{0,976 \times 9,80} \approx 65,3\text{ m}$$

Réponse

$f = 0,488mg$, $d \approx 65,3\text{ m}$

La distance d'arrêt ne dépend pas de la masse.

2)

Sur route humide, la distance de freinage est de $90\text{ m}$. En déduire la nouvelle valeur de $\phi$.

✅ Solution

Étape 1 : $d = \frac{v^2}{2g \cdot \tan\phi}$

Étape 2 :

$$\tan\phi = \frac{v^2}{2gd} = \frac{625}{2 \times 9,80 \times 90} = 0,354$$

Étape 3 :

$$\phi = \arctan(0,354) \approx 19,5^\circ$$

Réponse

$\phi \approx 19,5^\circ$

3)

Quelle serait, sur route humide, la distance de freinage d'une voiture animée d'une vitesse de $130\text{ km/h}$ ?

✅ Solution

Étape 1 : $v = 130\text{ km/h} = 36,11\text{ m/s}$

Étape 2 :

$$d = \frac{v^2}{2g \cdot \tan\phi} = \frac{36,11^2}{2 \times 9,80 \times 0,354} \approx 187,8\text{ m}$$

Réponse

$d \approx 188\text{ m}$