1) Étude de l'urée
Étape 1 :
Calcul de la masse molaire de l'urée \(\text{CH}_4\text{N}_2\text{O}\)
$$M_{\text{urée}} = M_C + 4M_H + 2M_N + M_O$$
$$M_{\text{urée}} = 12 + 4 + 2 \times 14 + 16 = 60\text{ g/mol}$$
Étape 2 :
Rappel de la formule reliant le titre massique \(C_m\) et la concentration molaire \(C\) :
$$C = \frac{C_m}{M}$$
Où \(C\) est en mol/L, \(C_m\) en g/L et \(M\) en g/mol.
Étape 3 :
Application numérique pour l'urée :
$$C_{\text{urée}} = \frac{3,5 \times 10^{-1}}{60}$$
$$C_{\text{urée}} = 5,83 \times 10^{-3}\text{ mol/L}$$
Étape 4 :
Conversion en mmol/L (1 mol = 1000 mmol) :
$$C_{\text{urée}} = 5,83 \times 10^{-3} \times 1000 = 5,83\text{ mmol/L}$$
Étape 5 :
Comparaison avec les valeurs normales \([3 ; 8]\text{ mmol/L}\) :
$$3 \le 5,83 \le 8 \quad \text{✔️}$$
✅ La concentration en urée est normale.
Le patient n'est pas atteint d'insuffisance rénale.
2) Étude du glucose
Étape 6 :
Calcul de la masse molaire du glucose \(\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6\)
$$M_{\text{glucose}} = 6M_C + 12M_H + 6M_O$$
$$M_{\text{glucose}} = 6 \times 12 + 12 \times 1 + 6 \times 16 = 180\text{ g/mol}$$
Étape 7 :
Application numérique pour le glucose :
$$C_{\text{glucose}} = \frac{7,5 \times 10^{-3}}{180}$$
$$C_{\text{glucose}} = 4,17 \times 10^{-5}\text{ mol/L}$$
Étape 8 :
Conversion en mmol/L :
$$C_{\text{glucose}} = 4,17 \times 10^{-5} \times 1000 = 0,0417\text{ mmol/L}$$
Étape 9 :
Comparaison avec les valeurs normales \([3 ; 8]\text{ mmol/L}\) :
$$0,0417 < 3 \quad \text{❌}$$
❌ La concentration en glucose est très inférieure à la normale.
3) Vérification par le titre massique
Étape 10 :
Calcul des valeurs normales du glucose en g/L :
$$3\text{ mmol/L} = 3 \times 10^{-3}\text{ mol/L}$$
$$C_m = C \times M = 3 \times 10^{-3} \times 180 = 0,54\text{ g/L}$$
$$8\text{ mmol/L} = 8 \times 10^{-3}\text{ mol/L}$$
$$C_m = 8 \times 10^{-3} \times 180 = 1,44\text{ g/L}$$
Étape 11 :
Les valeurs normales du glucose sont donc comprises entre :
$$0,54\text{ g/L} \le C_m(\text{glucose}) \le 1,44\text{ g/L}$$
Étape 12 :
Comparaison avec la mesure du patient \(7,5 \times 10^{-3}\text{ g/L}\) :
$$7,5 \times 10^{-3} < 0,54 \quad \text{❌}$$
❌ Le patient a un taux de glucose anormalement bas.
Diagnostic final
| Substance |
Mesure |
Normale |
Diagnostic |
| Urée |
\(5,83\text{ mmol/L}\) |
\([3 ; 8]\text{ mmol/L}\) |
✅ Normale |
| Glucose |
\(0,0417\text{ mmol/L}\) |
\([3 ; 8]\text{ mmol/L}\) |
❌ Trop bas |
❌ Le patient souffre d'hypoglycémie (manque de glucose),
et non d'hyperglycémie.
Le patient doit consulter un médecin pour traiter son hypoglycémie.
Formule clé à retenir
$$C = \frac{C_m}{M}$$
- \(C\) : concentration molaire (mol/L)
- \(C_m\) : titre massique (g/L)
- \(M\) : masse molaire (g/mol)
