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Exercice 9

Alcane - Combustion - Formule brute Niveau : Difficile

1 Énoncé

Les alcanes sont des hydrocarbures de formule brute \(C_nH_{2n+2}\). Pour déterminer la formule brute d'un alcane, on réalise sa combustion complète.

Données : \(M_C = 12\text{ g/mol}\), \(M_H = 1\text{ g/mol}\)
1)

Écrire l'équation de la réaction de combustion complète d'un alcane dans le dioxygène avec le nombre stœchiométrique 1 pour l'alcane.

✅ Solution
Étape 1 : La combustion complète d'un alcane \(C_nH_{2n+2}\) donne \(CO_2\) et \(H_2O\).
Étape 2 : Équation générale (coefficient 1 pour l'alcane) :
$$C_nH_{2n+2} + \frac{3n+1}{2}O_2 \rightarrow nCO_2 + (n+1)H_2O$$
Étape 3 : Vérification pour \(n=4\) (butane) :
$$C_4H_{10} + \frac{13}{2}O_2 \rightarrow 4CO_2 + 5H_2O$$
Formule générale
$$C_nH_{2n+2} + \frac{3n+1}{2}O_2 \rightarrow nCO_2 + (n+1)H_2O$$
2)

Les graphes ci-dessous représentent l'évolution des quantités de matière de l'alcane et du dioxyde de carbone en fonction de l'avancement \(x\) de la réaction.

Évolution de \(n(alcane)\) et \(n(CO_2)\) en fonction de \(x\)

a. À l'aide des graphes, déterminer la composition, en quantité de matière, du système dans l'état initial sachant que \(n_i(O_2) = 7,0\text{ mol}\) et \(n_i(H_2O) = 0\text{ mol}\).

✅ Solution
Étape 1 : Lecture du graphique pour l'alcane (droite décroissante) :
$$n_i(alcane) = 2,0\text{ mol} \quad (\text{ordonnée à l'origine})$$
Étape 2 : Lecture du graphique pour le \(CO_2\) (droite croissante) :
$$n_i(CO_2) = 0\text{ mol} \quad (\text{ordonnée à l'origine})$$
Étape 3 : Données de l'énoncé :
$$n_i(O_2) = 7,0\text{ mol} \quad ; \quad n_i(H_2O) = 0\text{ mol}$$
État initial
  • \(n_i(alcane) = 2,0\text{ mol}\)
  • \(n_i(O_2) = 7,0\text{ mol}\)
  • \(n_i(CO_2) = 0\text{ mol}\)
  • \(n_i(H_2O) = 0\text{ mol}\)

b. En utilisant un tableau d'avancement et les graphes, calculer la valeur de \(n\) et en déduire la formule brute de l'alcane.

✅ Solution
Étape 1 : Tableau d'avancement :
\(C_nH_{2n+2}\) + \(\frac{3n+1}{2}O_2\) → \(nCO_2\) + \((n+1)H_2O\)
État initial \(2,0\) \(7,0\) \(0\) \(0\)
En cours \(2,0 - x\) \(7,0 - \frac{3n+1}{2}x\) \(nx\) \((n+1)x\)
État final \(2,0 - x_f\) \(7,0 - \frac{3n+1}{2}x_f\) \(nx_f\) \((n+1)x_f\)
Étape 2 : Lecture du graphique : \(n_f(alcane) = 0\) (le réactif est totalement consommé)
$$2,0 - x_f = 0 \Rightarrow x_f = 2,0\text{ mol}$$
Étape 3 : Lecture du graphique : \(n_f(CO_2) = 12\text{ mol}\) (droite croissante, intersection avec axe des ordonnées)
$$n_f(CO_2) = n \times x_f = n \times 2,0 = 12$$ $$n = 6$$
Étape 4 : Formule brute :
$$C_nH_{2n+2} = C_6H_{14} \quad \text{(hexane)}$$
Résultats
  • \(n = 6\)
  • Formule brute : \(\mathbf{C_6H_{14}}\) (hexane)

c. Déterminer l'avancement final, le réactif limitant et la composition en quantité de matière du système dans l'état final.

✅ Solution
Étape 1 : Avancement final : \(x_f = 2,0\text{ mol}\) (déterminé précédemment)
Étape 2 : Vérification du réactif limitant :
$$C_6H_{14} : x_{max} = n_i = 2,0\text{ mol}$$
$$O_2 : x_{max} = \frac{n_i}{\frac{3n+1}{2}} = \frac{7,0}{\frac{19}{2}} = \frac{7,0}{9,5} = 0,737\text{ mol}$$

\(x_{max}(O_2) < x_{max}(alcane)\) donc \(O_2\) est le réactif limitant !

⚠️ Le graphique montre \(x_f = 2,0\text{ mol}\), mais l'oxygène est limitant à \(0,737\text{ mol}\).
Il y a une incohérence dans les données. Re-vérification...

Étape 3 : Correction : Le réactif limitant est \(O_2\).
$$x_f = x_{max}(O_2) = 0,737\text{ mol}$$
$$n_f(alcane) = 2,0 - 0,737 = 1,263\text{ mol}$$
$$n_f(CO_2) = 6 \times 0,737 = 4,42\text{ mol}$$
$$n_f(H_2O) = (6+1) \times 0,737 = 5,16\text{ mol}$$
$$n_f(O_2) = 7,0 - \frac{19}{2} \times 0,737 = 7,0 - 7,00 \approx 0\text{ mol}$$
État final (corrigé)
  • Avancement final : \(x_f = 0,737\text{ mol}\)
  • Réactif limitant : \(O_2\) (dioxygène)
  • \(n_f(alcane) = 1,263\text{ mol}\)
  • \(n_f(O_2) = 0\text{ mol}\)
  • \(n_f(CO_2) = 4,42\text{ mol}\)
  • \(n_f(H_2O) = 5,16\text{ mol}\)
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