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Partie 3 : Gaz parfaits - Boyle-Mariotte - Volume molaire

Pour les gaz, la quantité de matière est liée à la pression, au volume et à la température par l'équation d'état des gaz parfaits.

Table des matières

1. Loi de Boyle-Mariotte
2. Température absolue
3. Équation d'état des gaz parfaits
4. Volume molaire et quantité de matière d'un gaz
5. Densité d'un gaz par rapport à l'air

1 Loi de Boyle-Mariotte

Activité

On considère une seringue remplie d'air et reliée à un manomètre qui indique la pression $P$.

On diminue le volume occupé par l'air. On constate alors que la pression affichée par le manomètre augmente.

Lorsqu'on diminue le volume, la pression augmente ($P \times V = \text{constante}$)

$V$ (L)	$P$ (bar)	$P \times V$
10,0	1	10
5,00	2	10
3,33	3	10
2,50	4	10

Courbe $P = f(V)$ pour un gaz parfait à température constante

📌 Loi de Boyle-Mariotte

À température constante, pour une quantité de matière donnée de gaz, le produit de la pression $P$ par le volume $V$ de ce gaz ne varie pas :

$$P \times V = \text{constante}$$

$P$ en Pa (ou bar, atm...), $V$ en m³ (ou L...)

Interprétation

Si on diminue le volume d'un gaz (en le comprimant), sa pression augmente pour que le produit $P \times V$ reste constant.

C'est le principe du piston dans un moteur ou d'une seringue.

2 Température absolue

📌 Définition

La température absolue $T$ (en kelvin, K) est liée à la température en degrés Celsius $\theta$ par :

$$T(K) = \theta(^\circ C) + 273,15$$

$\theta$ (°C)	$T$ (K)
0 °C	273,15 K
20 °C	293,15 K
100 °C	373,15 K
-273,15 °C	0 K (zéro absolu)

À retenir

Le zéro absolu ($0 \text{ K} = -273,15^\circ C$) est la température la plus basse possible théoriquement. À cette température, l'agitation moléculaire cesse.

On arrondit souvent $273,15$ à $273$ dans les calculs.

3 Équation d'état des gaz parfaits

Définition d'un gaz parfait

Un gaz est dit parfait lorsque les particules qui le constituent sont sans interaction les unes avec les autres.

À basse pression et à haute température, le comportement d'un gaz réel peut se considérer comme celui d'un gaz parfait.

📌 Équation d'état des gaz parfaits

Les quatre variables d'état $(P, V, n, T)$ sont liées par :

$$P \times V = n \times R \times T$$

$P$ : pression en pascal (Pa)
$V$ : volume en m³
$n$ : quantité de matière en mol
$T$ : température absolue en kelvin (K)
$R = 8,314 \text{ Pa.m}^3\text{.mol}^{-1}\text{.K}^{-1}$ (constante des gaz parfaits)

                    Autres valeurs de R
                    \(R = 8,314 \text{ J.mol}^{-1}\text{.K}^{-1}\)
\(R = 0,082 \text{ atm.L.mol}^{-1}\text{.K}^{-1}\) (à utiliser avec \(P\) en atm et \(V\) en L)

                

📝 Application : Calcul du volume molaire dans les CNTP

Calculer le volume molaire $V_m$ dans les conditions normales de température et de pression (CNTP) :
$\theta = 0^\circ C$, $P = 1013 \text{ hPa}$.

Méthode de résolution :

Étape 1 : Le volume molaire est le volume occupé par une mole de gaz parfait ($n = 1 \text{ mol}$).

Étape 2 : On utilise l'équation d'état : $P \times V = n \times R \times T \Rightarrow V_m = \frac{R \times T}{P}$

Étape 3 : Conversion : $T = 0 + 273,15 = 273,15 \text{ K}$, $P = 1013 \text{ hPa} = 1013 \times 10^2 \text{ Pa}$

Étape 4 : On remplace : $V_m = \frac{8,314 \times 273,15}{1013 \times 10^2}$

$$V_m = 2,24 \times 10^{-2} \text{ m}^3 \cdot \text{mol}^{-1} = 22,4 \text{ L} \cdot \text{mol}^{-1}$$

Réponse

Dans les CNTP, le volume molaire d'un gaz parfait est :

$$V_m = 22,4 \text{ L.mol}^{-1}$$

4 Volume molaire - Quantité de matière d'un gaz

📌 Définition du volume molaire

Le volume molaire $V_m$ d'un gaz est le volume occupé par une mole de ce gaz dans des conditions de pression et de température données.

$$V_m = \frac{V}{n} \quad \text{et} \quad n(X) = \frac{V(X)}{V_m}$$

$V_m$ en L.mol⁻¹, $V$ en L, $n$ en mol

Conditions	Température	Pression	$V_m$
Conditions normales (CNTP)	0 °C	1 atm	22,4 L.mol⁻¹
Conditions ordinaires	20 °C	1 atm	24,0 L.mol⁻¹

Loi d'Avogadro-Ampère

À une même température et pression, tous les gaz ont le même volume molaire.

Une mole de dioxygène $O_2$ et une mole de diazote $N_2$ occupent le même volume dans les mêmes conditions.

📝 Exemple

Quel est le volume occupé par $0,25 \text{ mol}$ de dioxygène $O_2$ dans les conditions normales ?

Méthode de résolution :

Étape 1 : On utilise la formule : $V = n \times V_m$

Étape 2 : Dans les CNTP, $V_m = 22,4 \text{ L.mol}^{-1}$

Étape 3 : $V = 0,25 \times 22,4 = 5,60 \text{ L}$

Réponse

$0,25 \text{ mol}$ de $O_2$ occupent 5,60 L dans les CNTP.

5 Densité d'un gaz par rapport à l'air

📌 Définition

La densité $d$ d'un gaz par rapport à l'air est le quotient de la masse $m$ d'un volume $V$ de gaz par la masse $m_{air}$ du même volume $V$ d'air (dans les mêmes conditions de température et de pression).

$$d = \frac{m}{m_{air}} = \frac{n \times M}{\rho_{air} \times n \times V_m} = \frac{M}{\rho_{air} \times V_m}$$

Formule simplifiée

Dans les conditions normales : $\rho_{air} = 1,293 \text{ g.L}^{-1}$ et $V_m = 22,4 \text{ L.mol}^{-1}$

Donc $\rho_{air} \times V_m = 1,293 \times 22,4 \approx 29 \text{ g.mol}^{-1}$

$$d = \frac{M}{29}$$

$d$ sans unité, $M$ en g.mol⁻¹
29 g.mol⁻¹ est la masse molaire moyenne de l'air.

📝 Exemple

Calculer la densité du dioxyde de carbone $CO_2$ par rapport à l'air. ($M(CO_2) = 44 \text{ g.mol}^{-1}$)

Méthode de résolution :

Étape 1 : On utilise la formule simplifiée : $d = \frac{M}{29}$

Étape 2 : $d = \frac{44}{29} \approx 1,52$

Réponse

La densité du $CO_2$ est 1,52.

$CO_2$ est plus dense que l'air (d > 1), il a tendance à s'accumuler en bas.

                À retenir
                Loi de Boyle-Mariotte : \(P \times V = \text{constante}\) à T et n constantes.
Température absolue : \(T(K) = \theta(^\circ C) + 273,15\).
Équation des gaz parfaits : \(P \times V = n \times R \times T\) avec \(R = 8,314 \text{ J.mol}^{-1}\text{.K}^{-1}\).
Volume molaire : \(V_m = 22,4 \text{ L.mol}^{-1}\) (CNTP) et \(V_m = 24,0 \text{ L.mol}^{-1}\) (conditions ordinaires).
Densité d'un gaz : \(d = M/29\).
Toujours vérifier les unités : Pa, m³, K, mol.

            

Et après ?

Dans la Partie 4 (Résumé), on fera une synthèse complète de toutes les formules et méthodes avec un tableau récapitulatif et une fiche de révision.

Partie 2 Résumé