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Exercice 4

Barycentre de trois points Niveau : Moyen

1 Énoncé

Soit $ABC$ un triangle et $G$ un point tel que :

$$2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB}$$
1)

Montrer que $G$ est le barycentre du système pondéré :

$$\{(A, 1); (B, 1); (C, 2)\}$$
✅ Solution détaillée
Étape 1 : On écrit l'égalité donnée :
$$2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB}$$
Étape 2 : On transpose tout dans le membre de gauche :
$$2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = 0$$
Étape 3 : On utilise la relation de Chasles : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}$
$$2(\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}) - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = 0$$
Étape 4 : On développe :
$$2\overrightarrow{AG} + 2\overrightarrow{GC} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = 0$$
Étape 5 : On simplifie :
$$-\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = 0$$
Étape 6 : On remplace $-\overrightarrow{AG}$ par $\overrightarrow{GA}$ :
$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = 0$$
Étape 7 : On identifie avec la définition du barycentre :
$$1 \times \overrightarrow{GA} + 1 \times \overrightarrow{GB} + 2 \times \overrightarrow{GC} = 0$$
Conclusion

$G$ est le barycentre du système pondéré :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 1); (C, 2)\}$$
2)

Construire le point $G$.

✅ Solution détaillée

Rappel : Si $G = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)\}$ alors :

$$\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma}\overrightarrow{AB} + \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma}\overrightarrow{AC}$$
Étape 1 : On identifie les poids :
$\alpha = 1$, $\beta = 1$, $\gamma = 2$
Étape 2 : On calcule la somme des poids :
$s = 1 + 1 + 2 = 4$
Étape 3 : On applique la formule :
$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
Étape 4 : Construction :
  • Placer le point $I$ milieu de $[BC]$
  • $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
  • $G$ est le barycentre de $\{(A,1); (I,3)\}$
Construction

$G$ est situé aux $\frac{1}{4}$ de $AB$ et $\frac{1}{2}$ de $AC$.

Construction du barycentre G de {(A,1);(B,1);(C,2)}

Exercice 3 Exercice 5