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Exercice 5

Associativité - Centre de gravité Niveau : Moyen

1 Exercice 5 - Associativité

Soit $G = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -3); (C, 5)\}$.

Utiliser la propriété d'associativité pour construire le point $G$.

Construire le barycentre $G$ du système pondéré $\{(A, 2); (B, -3); (C, 5)\}$.

✅ Solution détaillée

Propriété d'associativité :

Rappel

Si $E = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ alors :

$$G = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)\} = \text{Bar}\{(E, \alpha + \beta); (C, \gamma)\}$$

Étape 1 : Soit $E = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -3)\}$.
La somme des poids est : $2 + (-3) = -1 \neq 0$ ✅

Étape 2 : On construit le point $E$ :

$$2\overrightarrow{EA} + (-3)\overrightarrow{EB} = 0$$ $$2\overrightarrow{EA} = 3\overrightarrow{EB}$$

Étape 3 : On pose $M = A$ dans la propriété caractéristique :

$$(-1)\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AA} - 3\overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB}$$

Étape 4 : D'après l'associativité :

$$G = \text{Bar}\{(E, -1); (C, 5)\}$$

Étape 5 : On construit $G$ :

$$(-1)\overrightarrow{GE} + 5\overrightarrow{GC} = 0$$ $$5\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GE}$$

Étape 6 : On pose $M = C$ :

$$4\overrightarrow{CG} = -\overrightarrow{CE} + 5\overrightarrow{CC} = -\overrightarrow{CE}$$ $$\overrightarrow{CG} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{CE}$$

Conclusion

$G$ est construit tel que :

$E$ est sur $(AB)$ avec $\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB}$
$G$ est sur $(CE)$ avec $\overrightarrow{CG} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{CE}$

Construction de G par associativité

2 Exercice 6 - Centre de gravité

Soit $ABC$ un triangle et $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.

Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$.

Montrer que $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A, 1); (I, 2)\}$.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : Le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est le barycentre de :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 1); (C, 1)\}$$

Étape 2 : $I$ est le milieu du segment $[BC]$, donc :

$$I = \text{Bar}\{(B, 1); (C, 1)\}$$

Étape 3 : D'après la propriété d'associativité, on peut remplacer $(B, 1)$ et $(C, 1)$ par $(I, 2)$ :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (I, 2)\}$$

Étape 4 : Vérification :

$$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GI} = 0$$

$$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GI} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 0$$

Conclusion

$G$ est le barycentre de $\{(A, 1); (I, 2)\}$.

C'est-à-dire que $G$ est situé aux $\frac{2}{3}$ de la médiane $[AI]$.

Centre de gravité G = Bar{(A,1); (I,2)}

Exercice 4 Exercice 6