Exercice 1

Valeur de vérité : Vrai

Négation : $\exists x \in \mathbb{R} ; x^2 \leq x \land |x| \neq x$

Explication :

$x^2 \leq x \Leftrightarrow x^2 - x \leq 0 \Leftrightarrow x(x-1) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [0,1]$

Donc l'hypothèse $x^2 \leq x$ n'est vraie que pour $x \in [0,1]$, un intervalle où $x \geq 0$, et donc $|x| = x$.

• Pour $x \in [0,1]$ : l'hypothèse est vraie et $|x|=x$ aussi → implication vraie.

• Pour $x \notin [0,1]$ : l'hypothèse $x^2 \leq x$ est fausse → implication vraie par vacuité.

Conclusion : Vrai

Valeur de vérité : Faux

Négation : $x \in \mathbb{R} ; \left(x^2 = 4 \nLeftrightarrow x = 2\right)$

Explication : $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ ou $x = -2$

Donc $x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ est fausse car $-2$ est un contre-exemple.

Conclusion : Faux

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\left(7 \geq 5 \text{ ou } 2+1 \neq 3\right) \text{ et } \left(-3 \notin \mathbb{N}\right)$

Explication :

• $7 < 5$ est Faux

• $2+1=3$ est Vrai

• Donc $(7 < 5 \text{ et } 2+1=3)$ est Faux

• $-3 \in \mathbb{N}$ est Faux ($\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\}$)

• Faux ou Faux = Faux

Conclusion : Faux

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\left(7 < 5 \Rightarrow 2+1=0\right) \text{ ou } \left(-3 \notin \mathbb{N}\right)$

Explication :

• $7 < 5$ est Faux

• $2+1=0$ est Faux

• $(7 < 5 \Rightarrow 2+1=0)$ = (Faux $\Rightarrow$ Faux) = Vrai

• $-3 \in \mathbb{N}$ est Faux

• Vrai ou Faux = Vrai

Conclusion : Vrai

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\forall n \in \mathbb{Z}, n^2 > n . \exists x \in \mathbb{R}, x^2 \geq x$

Explication :

• $\exists n \in \mathbb{Z}, n^2 \leq n$ est Vrai (ex: $n=1$)

• $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 < x$ est Faux (ex: $x=2$)

• Vrai . Faux = Faux

Conclusion : Faux

Valeur de vérité : Faux

Explication :

• $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x - y + 3 = 0$ est Vrai

Pour tout $x$, on peut choisir $y = x+3$

• $\exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, x - y + 3 = 0$ est Faux

Cela signifierait $x = y - 3$ pour tout $x$, impossible.

• Vrai . Faux = Faux

Conclusion : Faux

Valeur de vérité : Faux

Négation : $\exists x \in \mathbb{R} ; \left(\sqrt{x^2 + 3} \geq 2 \nLeftrightarrow x \geq 1\right)$

Explication :

$\sqrt{x^2 + 3} \geq 2 \Leftrightarrow x^2 + 3 \geq 4 \Leftrightarrow x^2 \geq 1$

$\Leftrightarrow x \leq -1 \text{ ou } x \geq 1$

Donc l'équivalence $\sqrt{x^2+3} \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 1$ est fausse.

Conclusion : Faux