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Exercice 4

Raisonnement Niveau : Moyen

4 Méthodes de raisonnement

Utiliser différentes méthodes de raisonnement pour démontrer les propositions suivantes.

Contre-exemple : Montrer que la relation suivante est fausse.

$\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : xy = 2$

✅ Solution

Pour montrer que la proposition est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple.

Prenons $x = 0$.

Pour $x = 0$, l'équation $0 \times y = 2$ n'a pas de solution car $0 \times y = 0 \neq 2$.

Conclusion : La proposition est fausse.

Contraposée : Montrer que :

$\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R} : (x \neq 1 \land y \neq 1) \Rightarrow xy + 1 \neq x + y$

✅ Solution

Contraposée : $xy + 1 = x + y \Rightarrow (x = 1 \text{ ou } y = 1)$

Étape 1 : $xy + 1 = x + y$

Étape 2 : $xy + 1 - x - y = 0$

Étape 3 : $(x-1)(y-1) = 0$

Étape 4 : $x = 1$ ou $y = 1$

Conclusion : La proposition est vraie.

Contraposée : Avec $a,b \in \mathbb{R}$ et $b \neq 2a$, montrer que :

$b \neq \frac{a}{4} \Rightarrow \frac{a+2b}{2a-b} \neq \frac{6}{7}$

✅ Solution

Contraposée : $\frac{a+2b}{2a-b} = \frac{6}{7} \Rightarrow b = \frac{a}{4}$

Étape 1 : $\frac{a+2b}{2a-b} = \frac{6}{7}$

Étape 2 : $7(a+2b) = 6(2a-b)$

Étape 3 : $7a+14b = 12a-6b$

Étape 4 : $20b = 5a$

Étape 5 : $b = \frac{a}{4}$

Conclusion : La proposition est vraie.

Absurde : Sachant que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, montrer que :

$\forall r \in \mathbb{Q}, r + \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons qu'il existe $r \in \mathbb{Q}$ tel que $r + \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$.

Étape 1 : Soit $q = r + \sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

Étape 2 : Alors $\sqrt{2} = q - r$

Étape 3 : Or $q \in \mathbb{Q}$ et $r \in \mathbb{Q}$, donc $q - r \in \mathbb{Q}$

Étape 4 : Donc $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, ce qui contredit l'hypothèse.

Conclusion : La proposition est vraie.

5a.

Absurde : Montrer que :

$\forall (a,b) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ : a+b=0 \Rightarrow (a=0 \land b=0)$

✅ Solution

Par l'absurde : Supposons $a+b=0$ et $(a \neq 0 \text{ ou } b \neq 0)$.

Étape 1 : Comme $a,b \in \mathbb{R}^+$, on a $a \geq 0$ et $b \geq 0$

Étape 2 : Si $a > 0$, alors $b = -a < 0$, contradiction avec $b \geq 0$

Étape 3 : Si $b > 0$, alors $a = -b < 0$, contradiction avec $a \geq 0$

Donc $a=0$ et $b=0$.

Conclusion : La proposition est vraie.

5b.

Déduction : Résoudre l'équation :

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$

✅ Solution

Étape 1 : $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$

Étape 2 : $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$

Étape 3 : $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$

Étape 4 : $(x-1)^2 = 0$ et $(y+2)^2 = 0$

Étape 5 : $x = 1$ et $y = -2$

Conclusion : La solution est $(1, -2)$.

Exercice 3 Exercice 5