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Partie 1 : Cercle trigonométrique - Abscisses curvilignes

Table des matières

1 Cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est un cercle :

  • de centre $O$ (origine du plan)
  • de rayon $R = 1$
  • orienté dans le sens positif (sens trigonométrique)
  • et admettant une origine $I$

Cercle trigonométrique $(C)$ d'origine $I$

Résumé
  • Le cercle trigonométrique est de rayon 1.
  • Il est orienté dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre).
  • L'origine est le point $I(1,0)$.

2 Abscisse curviligne principale

Définition

Soit $(C)$ le cercle trigonométrique d'origine $I$. Considérons l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Chaque point $N$ d'abscisse $\alpha$ de l'intervalle $]-\pi, \pi]$ s'associe avec un point unique $M$ du cercle trigonométrique.

Le réel $\alpha$ s'appelle l'abscisse curviligne principale du point $M$.

Le réel $\alpha$ représente aussi la mesure de l'angle géométrique centrique $\widehat{IOM}$.

Abscisse curviligne principale $\alpha$ du point $M$ sur le cercle $(C)$

Exemple
  • Le point $I$ a pour abscisse curviligne principale $0$.
  • Le point $J(0,1)$ a pour abscisse curviligne principale $\dfrac{\pi}{2}$.
  • Le point $I'(-1,0)$ a pour abscisse curviligne principale $\pi$.
  • Le point $J'(0,-1)$ a pour abscisse curviligne principale $-\dfrac{\pi}{2}$.
Résumé
  • L'abscisse curviligne principale $\alpha$ est dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.
  • Chaque point du cercle a une unique abscisse curviligne principale.

3 Abscisses curvilignes d'un point

Définition

Soit $M$ un point sur le cercle $(C)$ d'abscisse curviligne principale $\alpha$.

Les réels qui s'écrivent sous la forme :

$$\alpha + 2k\pi \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}$$

s'appellent les abscisses curvilignes du point $M$ sur le cercle $(C)$.

Infinité d'abscisses curvilignes pour un même point $M$

Exemple

Le point $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ a pour abscisses curvilignes :

$$\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Soit : $\ldots, \dfrac{\pi}{3} - 4\pi, \dfrac{\pi}{3} - 2\pi, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3} + 2\pi, \dfrac{\pi}{3} + 4\pi, \ldots$

Résumé
  • Un point du cercle possède une infinité d'abscisses curvilignes.
  • Elles diffèrent entre elles par un multiple de $2\pi$.
  • L'abscisse curviligne principale est celle qui appartient à $]-\pi, \pi]$.

4 Tableau des valeurs remarquables

$x$ $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$
$\sin x$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos x$ $1$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $0$
$\tan x$ $0$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $\infty$

Représentation des angles remarquables sur le cercle trigonométrique

À retenir
  • $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  • $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  • $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$
Résumé
  • Les valeurs remarquables sont à connaître par cœur.
  • Elles se retrouvent facilement sur le cercle trigonométrique.

5 Exercices d'application

Exercice 1

Déterminer l'abscisse curviligne principale des points suivants :

  • $M_1$ d'abscisse curviligne $\dfrac{13\pi}{4}$
  • $M_2$ d'abscisse curviligne $-\dfrac{17\pi}{3}$
Exercice 2

Placer sur le cercle trigonométrique les points d'abscisses curvilignes :

  • $\dfrac{\pi}{4}$
  • $\dfrac{3\pi}{4}$
  • $-\dfrac{5\pi}{6}$
  • $\dfrac{7\pi}{4}$
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