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Partie 2 : Formules d'addition - Angle double - Demi-angle

Table des matières

1 Formules d'addition

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$, on a :

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Illustration des formules d'addition sur le cercle trigonométrique

Exemple 1

Calculer $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.

1 : $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}$
2 : $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}\right)$
3 : $= \cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{3} - \sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{3}$
4 : $= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
5 : $= \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Résultat : $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Exemple 2

Calculer $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

1 : $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}$
2 : $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right)$
3 : $= \sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6} - \cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}$
4 : $= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{1}{2}$
5 : $= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Résultat : $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Résumé
  • Les formules d'addition sont fondamentales en trigonométrie.
  • Elles permettent de calculer les lignes trigonométriques de sommes ou différences d'angles.

2 Formules d'angle double

Propriété

Pour tout réel $x$, on a :

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$
$\tan(2x) = \dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$   (si $x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$)
Exemple

Sachant que $\sin x = \dfrac{1}{3}$ et $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, calculer $\cos(2x)$ et $\sin(2x)$.

1 : $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}$
2 : $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$
3 : $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos x > 0$, $\cos x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
4 : $\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = \dfrac{4\sqrt{2}}{9}$

Résultat : $\cos(2x) = \dfrac{7}{9}$, $\sin(2x) = \dfrac{4\sqrt{2}}{9}$

Résumé
  • $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
  • $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
  • $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$

3 Formules du demi-angle

Propriété

Pour tout réel $x$, on a :

$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$   et   $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$

En posant $X = 2x$, on obtient :

$\cos^2\left(\dfrac{X}{2}\right) = \dfrac{1 + \cos X}{2}$   et   $\sin^2\left(\dfrac{X}{2}\right) = \dfrac{1 - \cos X}{2}$
Exemple

Calculer $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.

1 : $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \dfrac{1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2} = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$
2 : $0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right) > 0$
3 : $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
4 : $\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \dfrac{1 - \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2} = \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$
5 : $0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$ donc $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right) > 0$
6 : $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Résultat : $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right) \approx 0.924$ ; $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right) \approx 0.383$

Résumé
  • $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$
  • $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$
  • Ces formules permettent de calculer les lignes trigonométriques de la moitié d'un angle.

4 Formules de la tangente

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ (avec les conditions de définition), on a :

$\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
$\tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
$\tan(2a) = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$
Exemple

Calculer $\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

1 : $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}$
2 : $\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4} - \tan\dfrac{\pi}{6}}{1 + \tan\dfrac{\pi}{4}\tan\dfrac{\pi}{6}}$
3 : $= \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{9-3} = \dfrac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$

Résultat : $\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 2 - \sqrt{3}$

Exercice

Calculer $\tan\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.

$\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}$

1 : $\tan\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4} + \tan\dfrac{\pi}{6}}{1 - \tan\dfrac{\pi}{4}\tan\dfrac{\pi}{6}}$
2 : $= \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \dfrac{(3+\sqrt{3})^2}{9-3} = \dfrac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$

Résultat : $\tan\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}$

Résumé
  • $\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
  • $\tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
  • $\tan(2a) = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$
  • Il faut toujours vérifier les conditions de définition.

5 Formules avec $t = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Propriété

Soit $x \neq \pi + 2k\pi$. En posant $t = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$, on a :

$\cos x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$
$\sin x = \dfrac{2t}{1 + t^2}$
$\tan x = \dfrac{2t}{1 - t^2}$   (si $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$)
Exemple

Soit $a \in \mathbb{R}$ tel que $\tan\left(\dfrac{a}{2}\right) = 2$. Calculer $\cos a$, $\sin a$ et $\tan a$.

1 : $t = 2$
2 : $\cos a = \dfrac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \dfrac{1 - 4}{1 + 4} = -\dfrac{3}{5}$
3 : $\sin a = \dfrac{2 \times 2}{1 + 2^2} = \dfrac{4}{5}$
4 : $\tan a = \dfrac{2 \times 2}{1 - 2^2} = \dfrac{4}{-3} = -\dfrac{4}{3}$

Résultat : $\cos a = -\dfrac{3}{5}$, $\sin a = \dfrac{4}{5}$, $\tan a = -\dfrac{4}{3}$

Résumé
  • Ces formules sont très utiles pour résoudre des équations trigonométriques.
  • Elles transforment les expressions trigonométriques en expressions rationnelles en $t$.
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