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Résumé complet : Calcul trigonométrique

Table des matières

1 Cercle trigonométrique - Abscisses curvilignes

📌 Cercle trigonométrique
  • Cercle de centre $O$ et de rayon $R = 1$.
  • Orientation positive : sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre).
  • Origine : point $I(1,0)$.

Cercle trigonométrique

📌 Abscisses curvilignes
  • Abscisse curviligne principale : l'unique réel $\alpha \in ]-\pi, \pi]$ associé au point $M$.
  • Abscisses curvilignes : $\alpha + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

2 Formules d'addition - Angle double - Demi-angle

📌 Formules d'addition
$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
📌 Formules d'angle double
$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$
$\tan(2x) = \dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$   (si $x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$)
📌 Formules du demi-angle
$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$   et   $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$
$\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{2}}$   et   $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{2}}$
📌 Formules de la tangente
$\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
$\tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

3 Transformations trigonométriques

📌 Transformation de $a\cos x + b\sin x$
$a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)$

où $\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

📌 Somme en produit
$\sin p + \sin q = 2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$\sin p - \sin q = 2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$\cos p + \cos q = 2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$\cos p - \cos q = -2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
📌 Produit en somme (Linéarisation)
$\cos x \cos y = \dfrac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)]$
$\sin x \sin y = -\dfrac{1}{2}[\cos(x+y) - \cos(x-y)]$
$\sin x \cos y = \dfrac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)]$
📌 Formules avec $t = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$
$\cos x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$   et   $\sin x = \dfrac{2t}{1 + t^2}$
$\tan x = \dfrac{2t}{1 - t^2}$   (si $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$)

4 Équations trigonométriques

📌 $\cos x = a$
  • Si $a < -1$ ou $a > 1$ : $S = \emptyset$
  • Si $a = 1$ : $S = \{2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$
  • Si $a = -1$ : $S = \{\pi + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$
  • Si $-1 < a < 1$ : $\cos x = \cos \alpha \iff x = \pm \alpha + 2k\pi$
📌 $\sin x = a$
  • Si $a < -1$ ou $a > 1$ : $S = \emptyset$
  • Si $a = 1$ : $S = \left\{\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
  • Si $a = -1$ : $S = \left\{-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
  • Si $-1 < a < 1$ : $\sin x = \sin \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi$
📌 $\tan x = a$
  • $\tan x = \tan \alpha \iff x = \alpha + k\pi$
  • Conditions : $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
📌 $a\cos x + b\sin x = c$
  • Transformer $a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)$
  • Résoudre $\cos(x-\varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

5 Inéquations trigonométriques

📌 Méthode
  • Résoudre l'équation associée.
  • Placer les solutions sur le cercle trigonométrique.
  • Déterminer l'arc qui vérifie l'inéquation.
📌 Cas particuliers
  • $\cos x \ge \cos \alpha \iff x \in [-\alpha, \alpha] + 2k\pi$
  • $\sin x \ge \sin \alpha \iff x \in [\alpha, \pi - \alpha] + 2k\pi$
  • $\tan x \ge \tan \alpha \iff x \in [\alpha + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi[$

Solutions de $\cos x \ge \dfrac{1}{2}$ et $\sin x \ge \dfrac{1}{2}$

6 Tableau des valeurs remarquables

$x$ $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\pi$
$\sin x$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $0$
$\cos x$ $1$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $0$ $-1$
$\tan x$ $0$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $\infty$ $0$

Valeurs remarquables sur le cercle trigonométrique

7 Tableau récapitulatif

FormuleExpression
$\cos(a+b)$$\cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos(a-b)$$\cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\sin(a+b)$$\sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a-b)$$\sin a \cos b - \cos a \sin b$
$\cos(2x)$$\cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
$\sin(2x)$$2\sin x \cos x$
$\tan(2x)$$\dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$
$\cos^2 x$$\dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$
$\sin^2 x$$\dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$
$\cos x$ avec $t=\tan(x/2)$$\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
$\sin x$ avec $t=\tan(x/2)$$\dfrac{2t}{1+t^2}$
$\tan(a+b)$$\dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
$\tan(a-b)$$\dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
À retenir
  • Les formules d'addition sont la base de toute la trigonométrie.
  • La transformation $a\cos x + b\sin x$ est très utile pour les équations.
  • Les formules de linéarisation transforment des produits en sommes.
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