1 Équation $\cos x = a$
Propriété
Soit $a \in \mathbb{R}$. L'équation $\cos x = a$ :
- Si $a < -1$ ou $a > 1$ : pas de solution ($S = \emptyset$).
- Si $a = 1$ : $S = \{2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
- Si $a = -1$ : $S = \{\pi + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
- Si $-1 < a < 1$ : il existe $\alpha \in ]0,\pi[$ tel que $\cos\alpha = a$.
$\cos x = \cos \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
$\cos A(x) = \cos B(x) \iff A(x) = B(x) + 2k\pi \text{ ou } A(x) = -B(x) + 2k\pi$
Solutions de $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur le cercle trigonométrique
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
1 : $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$
2 : $\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$
3 : $2x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } 2x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$
4 : $2x = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{10\pi - 3\pi}{12} + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi$
5 : $x = \dfrac{7\pi}{24} + k\pi$
6 : $2x = -\dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = -\dfrac{10\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi = -\dfrac{13\pi}{12} + 2k\pi$
7 : $x = -\dfrac{13\pi}{24} + k\pi$
Solution : $S = \left\{\dfrac{7\pi}{24} + k\pi,\ -\dfrac{13\pi}{24} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
Résumé
- $\cos x = \cos \alpha \iff x = \pm \alpha + 2k\pi$
- Pour $\cos A(x) = \cos B(x)$ : $A(x) = \pm B(x) + 2k\pi$
2 Équation $\sin x = a$
Propriété
Soit $a \in \mathbb{R}$. L'équation $\sin x = a$ :
- Si $a < -1$ ou $a > 1$ : pas de solution ($S = \emptyset$).
- Si $a = 1$ : $S = \left\{\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.
- Si $a = -1$ : $S = \left\{-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.
- Si $-1 < a < 1$ : il existe $\alpha \in \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\sin\alpha = a$.
$\sin x = \sin \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
$\sin A(x) = \sin B(x) \iff A(x) = B(x) + 2k\pi \text{ ou } A(x) = \pi - B(x) + 2k\pi$
Solutions de $\sin x = \dfrac{1}{2}$ sur le cercle trigonométrique
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
1 : $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$
2 : $\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$
3 : $3x + \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } 3x + \dfrac{\pi}{6} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$
4 : $3x = -\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = -\dfrac{3\pi - 2\pi}{12} + 2k\pi = -\dfrac{5\pi}{12} + 2k\pi$
5 : $x = -\dfrac{5\pi}{36} + \dfrac{2k\pi}{3}$
6 : $3x = \dfrac{5\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{15\pi - 2\pi}{12} + 2k\pi = \dfrac{13\pi}{12} + 2k\pi$
7 : $x = \dfrac{13\pi}{36} + \dfrac{2k\pi}{3}$
Solution : $S = \left\{-\dfrac{5\pi}{36} + \dfrac{2k\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{36} + \dfrac{2k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
Résumé
- $\sin x = \sin \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi$
- Pour $\sin A(x) = \sin B(x)$ : $A(x) = B(x) + 2k\pi \text{ ou } A(x) = \pi - B(x) + 2k\pi$
3 Équation $\tan x = a$
Propriété
Soit $a \in \mathbb{R}$. L'équation $\tan x = a$ :
Il existe un unique $\alpha \in \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\tan\alpha = a$.
$\tan x = \tan \alpha \iff x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
Pour $\tan A(x) = \tan B(x)$ :
$A(x) = B(x) + k\pi \quad \text{avec } A(x) \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \text{ et } B(x) \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
Solutions de $\tan x = 1$ sur le cercle trigonométrique
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\tan\left(2x - \dfrac{\pi}{5}\right) = 1$.
1 : $1 = \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
2 : $\tan\left(2x - \dfrac{\pi}{5}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
3 : $2x - \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$
4 : $2x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{5} + k\pi = \dfrac{5\pi + 4\pi}{20} + k\pi = \dfrac{9\pi}{20} + k\pi$
5 : $x = \dfrac{9\pi}{40} + \dfrac{k\pi}{2}$
Solution : $S = \left\{\dfrac{9\pi}{40} + \dfrac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
Résumé
- $\tan x = \tan \alpha \iff x = \alpha + k\pi$
- Il faut toujours vérifier les conditions de définition ($x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$).
4 Équation $a\cos x + b\sin x = c$
Méthode
Pour résoudre $a\cos x + b\sin x = c$ :
1 : Transformer $a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)$
2 : L'équation devient $\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi) = c$
3 : $\cos(x-\varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
4 : Résoudre cette équation usuelle.
Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sqrt{3}\cos(3x) + \sin(3x) + 2 = 0$.
1 : $\sqrt{3}\cos(3x) + \sin(3x) = 2\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right)$
2 : $2\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 2 = 0$
3 : $\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) = -1$
4 : $3x - \dfrac{\pi}{6} = \pi + 2k\pi$
5 : $3x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$
6 : $x = \dfrac{7\pi}{18} + \dfrac{2k\pi}{3}$
Solution : $S = \left\{\dfrac{7\pi}{18} + \dfrac{2k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$
Graphique de $y = \sqrt{3}\cos(3x) + \sin(3x) + 2$
Résumé
- On transforme $a\cos x + b\sin x$ en $\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)$.
- On se ramène à une équation de la forme $\cos(x-\varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
5 Inéquations trigonométriques
Méthode générale
- On se ramène à une inéquation de la forme $\sin x \ge a$, $\cos x \ge a$ ou $\tan x \ge a$.
- On résout l'équation associée.
- On place les solutions sur le cercle trigonométrique.
- On détermine l'arc qui vérifie l'inéquation.
Exemple 1
Résoudre dans $[0, 2\pi]$ : $\cos x \ge \dfrac{1}{2}$.
1 : $\cos x = \dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{\pi}{3} \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{3}$
2 : Sur le cercle, les points sont $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $M'\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
3 : Les solutions sont les points sur l'arc entre $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.
Solution dans $[0,2\pi]$ : $S = \left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{3}, 2\pi\right]$
Solutions de $\cos x \ge \dfrac{1}{2}$ sur le cercle trigonométrique
Exemple 2
Résoudre dans $[0, 2\pi]$ : $\sin x \ge \dfrac{1}{2}$.
1 : $\sin x = \dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{\pi}{6} \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6}$
2 : Sur le cercle, les points sont $M\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ et $M'\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$.
3 : Les solutions sont les points sur l'arc entre $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$.
Solution dans $[0,2\pi]$ : $S = \left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$
Solutions de $\sin x \ge \dfrac{1}{2}$ sur le cercle trigonométrique
Exemple 3
Résoudre dans $[0, 2\pi]$ : $\tan x \ge 1$.
1 : $\tan x = 1 \iff x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$
2 : Dans $[0,2\pi]$ : $x = \dfrac{\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{4}$
3 : Sur le cercle, les solutions sont sur l'arc entre $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{5\pi}{4}$.
Solution dans $[0,2\pi]$ : $S = \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left[\dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{2}\right[$
Solutions de $\tan x \ge 1$ sur le cercle trigonométrique
Résumé
- On résout l'équation associée.
- On place les solutions sur le cercle.
- On détermine l'arc qui vérifie l'inéquation.
