Toute relation $f$ qui associe chaque élément $x$ de $\mathbb{R}$ au plus un élément $y$ de $\mathbb{R}$ est appelée fonction numérique de la variable réelle $x$.
$$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f(x)$$
Schéma : $x \in D_f$ associé à au plus une image $f(x) \in \mathbb{R}$
Ensemble de définition : $D_f$ ou $D$.
Tous les éléments $x$ de $\mathbb{R}$ qui ont une image par $f$.
Résumé
Une fonction associe à chaque $x$ au plus un $y$.
Notation : $f(x)$ est l'image de $x$.
$D_f$ est l'ensemble des $x$ qui ont une image.
2 Fonction paire - fonction impaire
Définition
$f$ est une fonction numérique définie sur $D_f$.
Fonction paire :
$$f \text{ est paire sur } D_f \Leftrightarrow \begin{cases} \forall x \in D_f, -x \in D_f \\ \forall x \in D_f, f(-x) = f(x) \end{cases}$$
Fonction impaire :
$$f \text{ est impaire sur } D_f \Leftrightarrow \begin{cases} \forall x \in D_f, -x \in D_f \\ \forall x \in D_f, f(-x) = -f(x) \end{cases}$$
Rappel
Paire : $f(-x) = f(x)$ → courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.
Impaire : $f(-x) = -f(x)$ → courbe symétrique par rapport à l'origine $O$.
$f(x)=x^2$ (paire) : symétrie / axe $(Oy)$
$f(x)=x^3$ (impaire) : symétrie / origine $O$
Résumé
$D_f$ doit être symétrique par rapport à $0$.
Si $f$ est paire : variations opposées sur $I$ et $I'$.
Si $f$ est impaire : mêmes variations sur $I$ et $I'$.
3 Monotonie d'une fonction numérique
Définition
$f$ est une fonction numérique définie sur un intervalle $I$.
Fonction croissante :
$$\forall x,x' \in I : x \le x' \Rightarrow f(x) \le f(x')$$
Fonction strictement croissante :
$$\forall x,x' \in I : x < x' \Rightarrow f(x) < f(x')$$
Fonction décroissante :
$$\forall x,x' \in I : x \le x' \Rightarrow f(x) \ge f(x')$$
Fonction strictement décroissante :
$$\forall x,x' \in I : x < x' \Rightarrow f(x) > f(x')$$
Fonction constante :
$$\forall x,x' \in I : f(x) = f(x')$$
$f(x)=(x-1)^2$ : décroissante sur $]-\infty,1]$, croissante sur $[1,+\infty[$
Résumé
Croissante : $x$ augmente → $f(x)$ augmente.
Décroissante : $x$ augmente → $f(x)$ diminue.
Constante : $f(x)$ ne change pas.
4 Taux d'accroissement d'une fonction $f$
Définition
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.
Pour $x$ et $x'$ de $I$ avec $x \neq x'$, le nombre :
$$T_f = \frac{f(x) - f(x')}{x - x'}$$
s'appelle le taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x'$.
Propriétés
Soit $T_f$ le taux d'accroissement de $f$ sur $I$.
Si $T_f \le 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
Si $T_f < 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Si $T_f \ge 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
Si $T_f > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $T_f = 0$ alors $f$ est constante sur $I$.
Résumé
$T_f > 0$ → $f$ croissante.
$T_f < 0$ → $f$ décroissante.
$T_f = 0$ → $f$ constante.
Sécante $(AB)$ : sa pente vaut le taux d'accroissement $T_f = \dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$
