Partie 2 - Fonction majorée, minorée, bornée - Extremums

1 Fonction majorée - minorée - bornée

Définitions

$f$ est définie sur $I$ ($I \subset D_f$). $M$ et $m$ sont des réels.

Fonction majorée :

$$\forall x \in I : f(x) \le M$$

La fonction est majorée par $M$ sur $I$.

Fonction minorée :

$$\forall x \in I : m \le f(x)$$

La fonction est minorée par $m$ sur $I$.

Fonction bornée :

$$f \text{ est bornée sur } I \iff f \text{ est majorée et minorée sur } I$$

Équivalent à :

$$\exists A \in \mathbb{R}^+ : \forall x \in I, |f(x)| \le A$$

$f(x) = 2 + \sin x$ : majorée par $M=3$, minorée par $m=1$, donc bornée

                    Résumé
                    Majorée : il existe un nombre plus grand que toutes les valeurs.
Minorée : il existe un nombre plus petit que toutes les valeurs.
Bornée : les deux à la fois ($|f(x)| \le A$).

                

2 Extremums d'une fonction

Définition

$f$ est définie sur $D_f$ et $x_0 \in D_f$.

Maximum absolu :

$$\forall x \in D_f : f(x) \le f(x_0)$$

$f(x_0)$ est la plus grande valeur atteinte par $f$ sur $D_f$.

Minimum absolu :

$$\forall x \in D_f : f(x_0) \le f(x)$$

$f(x_0)$ est la plus petite valeur atteinte par $f$ sur $D_f$.

                    Rappel
                    Maximum absolu : $f(x) \le f(x_0)$ pour tout $x$.
Minimum absolu : $f(x_0) \le f(x)$ pour tout $x$.

                

Maximum absolu en $x_0=2$

Minimum absolu en $x_0=2$

                    Résumé
                    Maximum absolu : plus grande valeur sur $D_f$.
Minimum absolu : plus petite valeur sur $D_f$.

                

3 Fonction périodique

Définition

$f$ est périodique de période $T > 0$ sur $D_f$ ssi :

$$x \in D_f \Rightarrow (x+T \in D_f \text{ et } x-T \in D_f)$$

$$\forall x \in D_f : f(x+T) = f(x)$$

                    Remarque
                    $T$ est la plus petite période strictement positive.
$f(x) = \sin x$ et $f(x) = \cos x$ ont pour période $T = 2\pi$.
$f(x) = \tan x$ a pour période $T = \pi$.

                

Application : Montrer que $f(x) = \sin(ax)$ avec $a \neq 0$ est périodique de période $T = \frac{2\pi}{|a|}$.

Étape 1 : $\sin(ax + 2\pi) = \sin(ax)$

Étape 2 : $\sin(a(x + \frac{2\pi}{a})) = \sin(ax + 2\pi) = \sin(ax)$

Étape 3 : Donc $T = \frac{2\pi}{a}$ pour $a > 0$, $T = \frac{2\pi}{|a|}$ pour $a \neq 0$.

Conclusion : $f(x) = \sin(ax)$ est périodique de période $T = \frac{2\pi}{|a|}$.

Courbe périodique de période $T$ : translation de vecteur $T\vec{i}$

                    Résumé
                    Une fonction périodique se répète à intervalles réguliers.
$T$ est la période (plus petit $T > 0$).
La courbe se répète par translation de vecteur $T\vec{i}$.

                

Partie 2 : Fonction majorée - minorée - bornée - Extremums

Table des matières

1 Fonction majorée - minorée - bornée

2 Extremums d'une fonction

3 Fonction périodique