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Partie 3 : Comparaison de fonctions - Composée

Table des matières

1 Égalité de deux fonctions

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques dont les ensembles de définition sont respectivement $D_f$ et $D_g$.

$$f = g \iff \begin{cases} D_f = D_g \\ \forall x \in D_f : f(x) = g(x) \end{cases}$$

$h(x)=x^2+1$ : même formule, mais $D_g \subsetneq D_f$ $\Rightarrow$ $f \neq g$

Résumé
  • Pour que deux fonctions soient égales, elles doivent avoir le même ensemble de définition.
  • Elles doivent avoir la même image pour tout $x$.

2 Comparaison de deux fonctions

Définitions

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $I$.

$f \le g$ sur $I$ :

$$\forall x \in I : f(x) \le g(x)$$

La courbe de $f$ est située au-dessous de la courbe de $g$ sur $I$.

$f > g$ sur $I$ :

$$\forall x \in I : f(x) > g(x)$$

La courbe de $f$ est située strictement au-dessus de la courbe de $g$ sur $I$.

$f = g$ sur $I$ :

$$\forall x \in I : f(x) = g(x)$$

Les courbes de $f$ et $g$ sont confondues sur $I$.

Fonction positive :

$$\forall x \in D_f : f(x) \ge 0$$

La courbe de $f$ est située au-dessus de l'axe des abscisses.

Fonction strictement négative :

$$\forall x \in D_f : f(x) < 0$$

La courbe de $f$ est située strictement au-dessous de l'axe des abscisses.

$f(x)=0{,}15(x-2)^2+0{,}5$ et $g(x)=f(x)+1{,}5$ : $f \le g$ sur $\mathbb{R}$

Résumé
  • $f \le g$ : $f$ en dessous de $g$.
  • $f > g$ : $f$ au-dessus de $g$.
  • $f = g$ : courbes confondues.
  • $f \ge 0$ : courbe au-dessus de l'axe $Ox$.
  • $f < 0$ : courbe en dessous de l'axe $Ox$.

3 Composée de deux fonctions

Vocabulaire

La fonction $h : x \mapsto h(x) = g(f(x))$ se note :

$$h = g \circ f \quad \text{et} \quad h(x) = g \circ f(x) = g(f(x))$$

$g \circ f$ est la composée de $f$ et $g$ dans cet ordre.

Diagramme :

$$h = g \circ f : D_f \xrightarrow{f} f(D_f) \subset D_g \xrightarrow{g} \mathbb{R}$$ $$x \mapsto f(x) \in D_g \mapsto g(f(x)) = g \circ f(x) = h(x)$$
Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $D_f$ et $D_g$ avec $f(D_f) \subset D_g$.

$$D_{g \circ f} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \in D_f \text{ et } f(x) \in D_g \}$$

La fonction $h$ définie sur $D_{g \circ f}$ par $h(x) = g(f(x))$ est la composée de $f$ et $g$ dans cet ordre.

Propriétés
  • Si $f$ et $g$ ont même monotonie → $g \circ f$ est croissante.
  • Si $f$ et $g$ ont des monotonies opposées → $g \circ f$ est décroissante.

Schéma de la composée $h = g \circ f$

Résumé
  • $g \circ f$ : on applique $f$ puis $g$.
  • $f \circ g$ : on applique $g$ puis $f$.
  • $g \circ f \neq f \circ g$ en général.
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