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Partie 5 : Exercices

Fonctions 5 exercices

Table des matières

1 Fonction majorée - minorée - bornée

1. Montrer que la fonction $f$ est majorée par $M$ :

a) $f(x) = -x^2 + 2x$, $M = 1$
✅ Solution

Pour montrer que $f$ est majorée par $M=1$, il faut prouver que :

$f(x) \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
Étape 1 : $f(x) = -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x)$
Étape 2 : $= -(x^2 - 2x + 1) + 1$ (on complète le carré)
Étape 3 : $= -(x-1)^2 + 1$
Étape 4 : $(x-1)^2 \ge 0 \Rightarrow -(x-1)^2 \le 0$
Étape 5 : $-(x-1)^2 + 1 \le 1$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \le 1$ donc $f$ est majorée par $M=1$.

Courbe de $f(x) = -x^2 + 2x$ majorée par $M=1$

b) $f(x) = \frac{3x^2+2}{x^2+1}$, $M = 3$
✅ Solution

Pour montrer que $f$ est majorée par $M=3$, il faut prouver que :

$f(x) \le 3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
Étape 1 : $f(x) = \frac{3x^2+2}{x^2+1}$
Étape 2 : $= \frac{3(x^2+1)-1}{x^2+1}$ (on écrit $3x^2+2 = 3x^2+3-1$)
Étape 3 : $= 3 - \frac{1}{x^2+1}$
Étape 4 : $\frac{1}{x^2+1} \ge 0 \Rightarrow -\frac{1}{x^2+1} \le 0$
Étape 5 : $3 - \frac{1}{x^2+1} \le 3$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \le 3$ donc $f$ est majorée par $M=3$.

2. Montrer que la fonction $f$ est minorée par $m$ :

a) $f(x) = x^2 + 4x$, $m = -4$
✅ Solution

Pour montrer que $f$ est minorée par $m=-4$, il faut prouver que :

$f(x) \ge -4$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
Étape 1 : $f(x) = x^2 + 4x$
Étape 2 : $= (x^2 + 4x + 4) - 4$ (on complète le carré)
Étape 3 : $= (x+2)^2 - 4$
Étape 4 : $(x+2)^2 \ge 0 \Rightarrow (x+2)^2 - 4 \ge -4$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge -4$ donc $f$ est minorée par $m=-4$.

2 Extremums d'une fonction

Soit $f(x) = x^2 + 2x + 3$. Montrer que $f(-1)$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
✅ Solution

Pour montrer que $f(-1)$ est le minimum, il faut prouver que :

$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge f(-1)$
Étape 1 : $f(x) = x^2 + 2x + 3$
Étape 2 : $= (x^2 + 2x + 1) + 2$
Étape 3 : $= (x+1)^2 + 2$
Étape 4 : $f(-1) = (-1+1)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$
Étape 5 : $(x+1)^2 \ge 0 \Rightarrow (x+1)^2 + 2 \ge 2$
Étape 6 : $f(x) \ge 2 = f(-1)$

Conclusion : $f(-1) = 2$ est le minimum absolu de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Minimum de $f(x) = x^2 + 2x + 3$ en $(-1, 2)$

3 Variations d'une fonction

Déterminer les variations de la fonction $f$ :

1) $f(x) = x^2 + \sqrt{2}$

$f'(x) = 2x$

$f'(x) = 0 \iff x = 0$

$f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$

$f$ est croissante sur $[0,+\infty[$

Parabole $f(x) = x^2 + \sqrt{2}$

2) $f(x) = x^3 - 5$

$f'(x) = 3x^2 \ge 0$

$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3) $f(x) = \frac{8}{x}$

$f'(x) = -\frac{8}{x^2} < 0$

$f$ est décroissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.

4) $f(x) = -3\sqrt{x-3} + 5$

$D_f = [3,+\infty[$

$f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x-3}} < 0$

$f$ est décroissante sur $[3,+\infty[$.

5) $f(x) = x^2 - 6$

$f'(x) = 2x$

$f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$

$f$ est croissante sur $[0,+\infty[$.

6) $f(x) = \frac{-\sqrt{3}+1}{x}$

$-\sqrt{3}+1 < 0$

$f'(x) = \frac{\sqrt{3}-1}{x^2} > 0$

$f$ est croissante sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.

7) $f(x) = \sqrt{x-5} + 6$

$D_f = [5,+\infty[$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} > 0$

$f$ est croissante sur $[5,+\infty[$.

8) $f(x) = -6x^3 + 9$

$f'(x) = -18x^2 \le 0$

$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

4 Composée de fonctions

Déterminer $D_{g \circ f}$, $D_{f \circ g}$ et les expressions :

1) $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$

$g \circ f(x) = g(f(x)) = (x^2)^3 = x^6$

$f \circ g(x) = f(g(x)) = (x^3)^2 = x^6$

$D_{g \circ f} = D_{f \circ g} = \mathbb{R}$

2) $f(x)=x^2-5$, $g(x)=\frac{1}{x}$

$g \circ f(x) = \frac{1}{x^2-5}$

$D_{g \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{\pm\sqrt{5}\}$

$f \circ g(x) = \frac{1}{x^2} - 5$

$D_{f \circ g} = \mathbb{R}^*$

3) $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x^2$

$g \circ f(x) = (\sqrt{x})^2 = x$

$D_{g \circ f} = [0,+\infty[$

$f \circ g(x) = \sqrt{x^2} = |x|$

$D_{f \circ g} = \mathbb{R}$

4) $f(x)=\sqrt{x-8}$, $g(x)=x^3$

$g \circ f(x) = (\sqrt{x-8})^3 = (x-8)^{3/2}$

$D_{g \circ f} = [8,+\infty[$

$f \circ g(x) = \sqrt{x^3-8}$

$D_{f \circ g} = [2,+\infty[$

5 Monotonie de la composée

En utilisant la monotonie de la composée :

1) $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ sur $I=\mathbb{R}^+$, $J=\mathbb{R}^-$
✅ Solution

$f(x) = v(u(x))$ où $u(x) = x^2+1$ et $v(t) = \sqrt{t}$

Étape 1 : $u(x) = x^2+1$ est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$
Étape 2 : $v(t) = \sqrt{t}$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$
Étape 3 : Donc $f = v \circ u$ est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$

Conclusion : $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$.

2) $f(x) = \frac{1}{x^2+3}$ sur $I=\mathbb{R}^+$, $J=\mathbb{R}^-$
✅ Solution

$f(x) = v(u(x))$ où $u(x) = x^2+3$ et $v(t) = \frac{1}{t}$

Étape 1 : $u(x) = x^2+3$ est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$
Étape 2 : $v(t) = \frac{1}{t}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^+$
Étape 3 : Donc $f = v \circ u$ est croissante sur $\mathbb{R}^-$ et décroissante sur $\mathbb{R}^+$

Conclusion : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^-$ et décroissante sur $\mathbb{R}^+$.

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