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Résumé complet : Généralités sur les fonctions

Table des matières

1 Fonction numérique - Définitions

📌 Définition
Une fonction numérique est une relation qui associe à chaque élément $x$ de $\mathbb{R}$ au plus un élément $y$ de $\mathbb{R}$.
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$    $x \mapsto f(x)$
$D_f$ ou $D$ est l'ensemble de définition (tous les $x$ qui ont une image).
Exemples
  • $f(x) = 2x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$
  • $f(x) = \sqrt{x}$ définie sur $[0, +\infty[$
  • $f(x) = \frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$

2 Parité - Monotonie - Taux d'accroissement

📌 Fonction paire - Fonction impaire
  • Paire : $f(-x) = f(x)$ → Courbe symétrique par rapport à $(Oy)$
  • Impaire : $f(-x) = -f(x)$ → Courbe symétrique par rapport à $O$
Exemple : $f(x) = x^2$ est paire, $f(x) = x^3$ est impaire.
📌 Monotonie
  • Croissante : $x \le x' \Rightarrow f(x) \le f(x')$
  • Strictement croissante : $x < x' \Rightarrow f(x) < f(x')$
  • Décroissante : $x \le x' \Rightarrow f(x) \ge f(x')$
  • Strictement décroissante : $x < x' \Rightarrow f(x) > f(x')$
  • Constante : $\forall x, x' \in I, f(x) = f(x')$
📌 Taux d'accroissement
$T_f = \dfrac{f(x) - f(x')}{x - x'}$
  • $T_f > 0$ → $f$ croissante
  • $T_f < 0$ → $f$ décroissante
  • $T_f = 0$ → $f$ constante

3 Fonction majorée - minorée - bornée

📌 Définitions
  • Majorée : $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ f(x) \le M$
  • Minorée : $\exists m \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ f(x) \ge m$
  • Bornée : $\exists A \in \mathbb{R}^+,\ \forall x \in I,\ |f(x)| \le A$
Une fonction bornée est à la fois majorée et minorée.
Exemples
  • $f(x) = \sin x$ est bornée par $A = 1$
  • $f(x) = x^2$ est minorée par $m = 0$
  • $f(x) = -x^2$ est majorée par $M = 0$

4 Extremums - Fonction périodique

📌 Extremums
  • Maximum absolu : $\forall x \in D_f,\ f(x) \le f(x_0)$
  • Minimum absolu : $\forall x \in D_f,\ f(x_0) \le f(x)$
$f(x_0)$ est la plus grande/plus petite valeur atteinte.
📌 Fonction périodique
$\exists T > 0,\ \forall x \in D_f,\ f(x+T) = f(x)$
  • $\sin x$ et $\cos x$ ont pour période $T = 2\pi$
  • $\tan x$ a pour période $T = \pi$
  • $f(x) = \sin(ax)$ a pour période $T = \dfrac{2\pi}{|a|}$

5 Comparaison - Composée de fonctions

📌 Comparaison de fonctions
  • $f \le g$ sur $I$ : $\forall x \in I,\ f(x) \le g(x)$
  • $f > g$ sur $I$ : $\forall x \in I,\ f(x) > g(x)$
  • $f = g$ sur $I$ : $\forall x \in I,\ f(x) = g(x)$
📌 Composée de fonctions
$h = g \circ f$    et    $h(x) = g(f(x))$
  • $D_{g \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \}$
  • Si $f$ et $g$ ont même monotonie → $g \circ f$ est croissante
  • Si $f$ et $g$ ont des monotonies opposées → $g \circ f$ est décroissante

6 Fonctions de référence

📌 $f(x) = ax^3$ $(a \neq 0)$
  • $D_f = \mathbb{R}$
  • $f$ est impaire : $f(-x) = -f(x)$
  • $a > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
  • $a < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
📌 $f(x) = \sqrt{x} + a$
  • $D_f = [0, +\infty[$
  • $f$ est strictement croissante sur $D_f$
  • $x < x' \Rightarrow \sqrt{x} < \sqrt{x'} \Rightarrow f(x) < f(x')$

$f(x) = \sqrt{x}$

📌 $f(x) = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$
  • Sommet : $S\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$
  • $a > 0$ : minimum en $x = -\frac{b}{2a}$
  • $a < 0$ : maximum en $x = -\frac{b}{2a}$

7 Tableau récapitulatif

ConceptDéfinitionExemple
Fonction paire$f(-x) = f(x)$$f(x) = x^2$
Fonction impaire$f(-x) = -f(x)$$f(x) = x^3$
Croissante$x \le x' \Rightarrow f(x) \le f(x')$$f(x) = 2x$
Décroissante$x \le x' \Rightarrow f(x) \ge f(x')$$f(x) = -2x$
Majorée$f(x) \le M$$f(x) = -x^2$
Minorée$f(x) \ge m$$f(x) = x^2$
Bornée$|f(x)| \le A$$f(x) = \sin x$
Périodique$f(x+T) = f(x)$$f(x) = \sin x$
À retenir
  • Pour étudier la monotonie : utiliser le taux d'accroissement $T_f$
  • Pour la parité : $D_f$ doit être symétrique par rapport à 0
  • Pour la composée : $g \circ f \neq f \circ g$ en général
Partie 4 Exercices