On appelle une proposition un énoncé mathématique (texte mathématique) qui a un sens pouvant être vrai ou faux (mais pas les deux en même temps).
On note souvent une proposition par les lettres P, Q ou R, etc.
Valeur de vérité d'une proposition :
Si la proposition est vraie on note V ou 1.
Si la proposition est fausse on note F ou 0.
Proposition
Valeur de vérité
P
V (1) ou F (0)
Exemples
P : « 2 est un nombre pair » → proposition est vraie.
Q : « 2 + 3 = 6 » → proposition est fausse.
R : « ABCD est un parallélogramme alors les diagonales se coupent en leur milieu » → proposition est vraie.
Résumé
Une proposition est un énoncé mathématique qui a une valeur de vérité (Vrai ou Faux).
On note les propositions par P, Q, R, ...
La valeur de vérité peut être V (1) ou F (0).
2 Fonction propositionnelle
Définition
On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé contenant une variable x ou plusieurs variables (x, y, z, ...) et qui appartiennent à des ensembles déterminés.
On note P(x) ou P(x, y, z, ...).
Remarque
Si on remplace les variables par un élément de ces ensembles, la fonction propositionnelle devient une proposition.
Exemples
A(x) : « pour tout x de ℝ on a $\sqrt{x^2} = x$ » est une fonction propositionnelle.
• si x = 2 on obtient une proposition vraie.
• si x = −3 on obtient une proposition fausse.
A(x, y) : « pour tout x et y de ℝ on a $|x + y| = |x| + |y|$ » est une fonction propositionnelle.
• si x = 2 et y = 5 on obtient une proposition vraie.
• si x = −2 et y = 5 on obtient une proposition fausse.
Résumé
Une fonction propositionnelle contient une ou plusieurs variables.
Elle devient une proposition lorsqu'on remplace les variables par des valeurs.
On note P(x) ou P(x, y, z, ...).
3 Les quantificateurs
Quantificateur universel
L'expression suivante : « pour tout x de E la proposition Q(x) est vraie ».
On la note : $\forall x \in E,\ Q(x)$
Le symbole ∀ s'appelle quantificateur universel et il se lit : « pour tout ... » ou « quel que soit ... »
Exemples
$\forall x \in \mathbb{R} : \sqrt{x^2} = |x|$
$\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R} : |x + y| \le |x| + |y|$
Représentation du quantificateur universel ∀
Quantificateur existentiel
L'expression suivante : « il existe un x de E tel que la proposition Q(x) est vraie ».
On la note : $\exists x \in E,\ Q(x)$
Le symbole ∃ s'appelle quantificateur existentiel et il se lit : « il existe ... »
Exemples
$\exists x \in \mathbb{R} : x + 4 \le 3$
$\exists a \in \mathbb{R},\ \exists b \in \mathbb{R},\ \exists c \in \mathbb{R} : a^3 + b^3 = c^2$
Représentation du quantificateur existentiel ∃
Le symbole ∃!
L'expression suivante : « il existe un unique x de E tel que la proposition Q(x) est vraie ».
On la note : $\exists! x \in E,\ Q(x)$
Exemple
$\exists! x \in \mathbb{R} : x + 4 = 3$ (l'unique solution est x = −1)
Remarques importantes
L'ordre des quantificateurs identiques (universel ou bien existentiel) ne change pas le sens de la fonction propositionnelle.
L'ordre des quantificateurs non identiques (universel et existentiel) change le sens de la fonction propositionnelle.
La négation du quantificateur ∀ est le quantificateur ∃.
La négation du quantificateur ∃ est le quantificateur ∀.
Écritures équivalentes
$\forall x \in E,\ \forall y \in E \iff \forall x, y \in E \iff \forall (x, y) \in E \times E$
$\exists x \in E,\ \exists y \in E \iff \exists x, y \in E \iff \exists (x, y) \in E \times E$
Résumé
∀ = quantificateur universel : « pour tout »
∃ = quantificateur existentiel : « il existe »
∃! = quantificateur existentiel unique : « il existe un unique »
La négation de ∀ est ∃, et la négation de ∃ est ∀.
L'ordre des quantificateurs différents change le sens.
