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Partie 2 : Opérations sur les propositions

Table des matières

1. La négation d'une proposition
2. Conjonction et Disjonction
3. L'implication de deux propositions
4. L'équivalence de deux propositions

1 La négation d'une proposition

Définition

La négation d'une proposition P est la proposition qu'on note $\overline{P}$ ou ¬P telle que les valeurs de vérité de P et $\overline{P}$ sont opposées.

Exemple

P : « 2 est un nombre pair »

Sa négation $\overline{P}$ est : « 2 est un nombre impair »

P et sa négation P̄ dans l'univers E

$P$	$\overline{P}$
V (1)	F (0)
F (0)	V (1)

Propriété
                        $\overline{\overline{P}} = P$    ou encore    $\neg(\neg P) = P$
                    

                    Résumé
                    La négation inverse la valeur de vérité.
Si P est vraie, $\overline{P}$ est fausse.
Si P est fausse, $\overline{P}$ est vraie.
La double négation redonne la proposition initiale.

                

2 Conjonction et Disjonction

A. La conjonction de deux propositions

Définition

La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée $P \land Q$ ou bien P et Q ; et elle est vraie seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux vraies.

$P$	$Q$	$P \land Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

                    Exemple
                    « (2 est un nombre pair) ∧ (2 + 3 = 6) » est une proposition fausse.
« (2 est un nombre pair) et (2 + 3 = 6) »

                

P ∧ Q : seule l'intersection est vraie

B. La disjonction de deux propositions

Définition

La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée $P \lor Q$ ou bien P ou Q ; et elle est fausse seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux fausses.

$P$	$Q$	$P \lor Q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

                    Exemple
                    « (2 est un nombre pair) ∨ (2 + 3 = 6) » est une proposition vraie.
« (2 est un nombre pair) ou (2 + 3 = 6) »

                

P ∨ Q : toute la zone couverte est vraie

C. Propriétés

                    Propriétés
                    Commutativité : $P \land Q = Q \land P$   et   $P \lor Q = Q \lor P$
Associativité : $(P \land Q) \land R = P \land (Q \land R)$   et   $(P \lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R)$
Idempotence : $P \land P = P$   et   $P \lor P = P$

                

Lois de Morgan
                        $\overline{P \land Q} = \overline{P} \lor \overline{Q}$    et    $\overline{P \lor Q} = \overline{P} \land \overline{Q}$
                    

Distributivité
                        $P \land (Q \lor R) = (P \land Q) \lor (P \land R)$
                    
                        $P \lor (Q \land R) = (P \lor Q) \land (P \lor R)$

                    Résumé
                    $P \land Q$ (et) : vraie seulement si P et Q sont vraies.
$P \lor Q$ (ou) : fausse seulement si P et Q sont fausses.
La conjonction et la disjonction sont commutatives et associatives.
Lois de Morgan : $\overline{P \land Q} = \overline{P} \lor \overline{Q}$ et $\overline{P \lor Q} = \overline{P} \land \overline{Q}$.

                

3 L'implication de deux propositions

Définition

L'implication de deux propositions P puis Q est la proposition $\overline{P} \lor Q$ ; qu'on note par $P \Rightarrow Q$ on lit « P implique Q ».

Elle est équivalente à $\overline{P} \lor Q$.

P ⇒ Q : P est inclus dans Q (P ⊂ Q)

                    Vocabulaire
                    La proposition P s'appelle les données (ou hypothèses) de l'implication.
La proposition Q s'appelle la conclusion de l'implication.

                

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

                    Remarque importante
                    L'implication $P \Rightarrow Q$ est fausse seulement dans le cas P est vraie et Q est fausse.
Si P est fausse, l'implication est toujours vraie (quel que soit Q).

                

                    Exemples
                    « (2 est un nombre pair) $\Rightarrow$ (2 + 3 = 6) » est une proposition fausse.

                            (vraie $\Rightarrow$ fausse = fausse)
« (2 + 3 = 6) $\Rightarrow$ (2 est un nombre pair) » est une proposition vraie.

                            (fausse $\Rightarrow$ vraie = vraie)

                    Propriétés
                    Transitivité : $[(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R)] \Rightarrow (P \Rightarrow R)$
Négation : $\overline{P \Rightarrow Q} = P \land \overline{Q}$
Contraposée : $P \Rightarrow Q = \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$

                

                    Vocabulaire supplémentaire
                    L'implication $Q \Rightarrow P$ s'appelle l'implication réciproque de $P \Rightarrow Q$.
L'implication $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$ s'appelle la contraposée de $P \Rightarrow Q$.
Si $P \Rightarrow Q$ on n'a pas forcément $Q \Rightarrow P$.

                

                    Résumé
                    $P \Rightarrow Q$ (P implique Q) équivaut à $\overline{P} \lor Q$.
Fausse seulement si P vraie et Q fausse.
Contraposée : $P \Rightarrow Q \iff \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.
La négation de $P \Rightarrow Q$ est $P \land \overline{Q}$.

                

4 L'équivalence de deux propositions

Définition

L'équivalence de deux propositions P et Q est la proposition $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$ notée $P \Leftrightarrow Q$ ; on lit « P est équivalente à Q » ou « P si et seulement si Q ».

$P$	$Q$	$P \Leftrightarrow Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemple
                        $\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R} : x^2 = y^2 \iff (x = y \text{ ou } x = -y)$
                    

                    Propriétés
                    $P \Leftrightarrow Q = Q \Leftrightarrow P$ (commutativité)
$P \Leftrightarrow Q = \overline{P} \Leftrightarrow \overline{Q}$
Transitivité : $[(P \Leftrightarrow Q) \land (Q \Leftrightarrow R)] \Rightarrow (P \Leftrightarrow R)$

                

                    Résumé
                    $P \Leftrightarrow Q$ (P équivaut à Q) signifie que P et Q ont la même valeur de vérité.
L'équivalence est la double implication : $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$.
L'équivalence est transitive, commutative et se conserve par négation.

                

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