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Partie 4 : Raisonnements (5-7)

Table des matières

1 Raisonnement par disjonction des cas

Définition

Lorsqu'on utilise plusieurs cas dans une démonstration, le raisonnement utilisé s'appelle raisonnement par disjonction des cas.

Exemple

Résoudre l'équation suivante : $|x+1| + 2x = 0$, $x \in \mathbb{R}$

1er cas : $x \in ]-\infty, -1]$

Étape 1 : $|x+1| + 2x = 0 \iff -(x+1) + 2x = 0$
Étape 2 : $\iff -x - 1 + 2x = 0 \iff x - 1 = 0$
Étape 3 : $\iff x = 1 \notin ]-\infty, -1]$

Donc : $S_1 = \varnothing$

2ème cas : $x \in [-1, +\infty[$

Étape 1 : $|x+1| + 2x = 0 \iff (x+1) + 2x = 0$
Étape 2 : $\iff 3x + 1 = 0$
Étape 3 : $\iff x = -\frac{1}{3} \in [-1, +\infty[$

Donc : $S_2 = \left\{-\frac{1}{3}\right\}$

Conclusion : $S = S_1 \cup S_2 = \left\{-\frac{1}{3}\right\}$

Les deux cas sur ℝ et la position de la solution trouvée

Résumé
  • On divise le problème en plusieurs cas possibles.
  • On résout chaque cas séparément.
  • La solution finale est l'union des solutions de chaque cas.
  • Utile pour les équations avec valeurs absolues ou les inégalités.

2 Raisonnement par l'absurde

Définition

Pour démontrer qu'une proposition Q est vraie :

  • On suppose que $\overline{Q}$ (la négation de Q) est vraie.
  • Au cours de la démonstration, on obtient une contradiction (P et $\overline{P}$ sont vraies en même temps).
  • Donc notre supposition $\overline{Q}$ est vraie est absurde ; d'où Q est vraie.

Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par l'absurde.

Le principe du raisonnement par l'absurde

Exemple 1

Soient r un nombre rationnel et i un nombre irrationnel et s = r + i.

Montrer que s est un nombre irrationnel.

On utilise un raisonnement par l'absurde :

Supposition : On suppose que $s$ est un nombre rationnel.
Étape 1 : $s = r + i \iff i = s - r$
Étape 2 : $s - r$ est un nombre rationnel (car la somme de deux rationnels est rationnelle).
Étape 3 : Mais $i = s - r$ et $i$ est un nombre irrationnel.

Contradiction !

Conclusion : La supposition « s est rationnel » est fausse. Donc s est irrationnel.

Exemple 2 : √2 est irrationnel

Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ (√2 n'est pas un nombre rationnel).

Supposition : On suppose que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.
Étape 1 : $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p,q \in \mathbb{Z}^*$ et $pgcd(p,q) = 1$
Étape 2 : $2 = \dfrac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$
Étape 3 : $p^2$ est pair $\Rightarrow p$ est pair ($p = 2k$)
Étape 4 : $4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2 \Rightarrow q$ est pair

Contradiction ! ($p$ et $q$ sont pairs donc $pgcd(p,q) \neq 1$)

Conclusion : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

Résumé
  • On suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer.
  • On cherche une contradiction (P et $\overline{P}$ vraies en même temps).
  • La contradiction montre que la supposition était fausse.
  • La proposition initiale est donc vraie.
  • Utile pour démontrer des irrationnalités ou des impossibilités.

3 Raisonnement par récurrence

Définition

Soient $n_0 \in \mathbb{N}$ et $P(n)$ une relation portant sur les entiers naturels $n$ tel que $n \ge n_0$.

Pour démontrer que la relation $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$, on utilise les étapes suivantes :

  • Initialisation : On vérifie que $P(n_0)$ est vraie.
  • Hérédité : On suppose que $P(n)$ est vraie pour un $n \ge n_0$ (hypothèse de récurrence).
  • Conclusion : On démontre que $P(n+1)$ est vraie.

Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par récurrence.

La propriété se transmet de proche en proche

Exemple 1 : Somme des entiers

Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}^* : 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Initialisation :

n = 1 : $1 = \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$ ✅

Hérédité :

Supposons que $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Étape 1 : $1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1)$
Étape 2 : $= \dfrac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

Exemple 2 : Divisibilité

Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N},\ n^3 + 2n$ est divisible par 3

Initialisation :

n = 0 : $0^3 + 2 \times 0 = 0$ divisible par 3 ✅

Hérédité :

Supposons que $3 \mid (n^3 + 2n)$ (c.à.d. $n^3 + 2n = 3k$)

Étape 1 : $(n+1)^3 + 2(n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2$
Étape 2 : $= (n^3 + 2n) + 3n^2 + 3n + 3$
Étape 3 : $= 3k + 3(n^2 + n + 1)$
Étape 4 : $= 3(k + n^2 + n + 1)$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Résumé
  • Initialisation : Vérifier $P(n_0)$.
  • Hérédité : $P(n) \Rightarrow P(n+1)$.
  • Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.
  • Utile pour les formules de sommes, les propriétés de divisibilité, les inégalités sur les entiers.
Partie 3 Résumé général