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Partie 3 : Lois logiques - Raisonnements (1-4)

Table des matières

1 Lois logiques

Définition

Une loi logique (ou tautologie) est une proposition qui est toujours vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la constituent.

Lois de Morgan
$\overline{P \land Q} = \overline{P} \lor \overline{Q}$
$\overline{P \lor Q} = \overline{P} \land \overline{Q}$
Distributivité
$P \land (Q \lor R) = (P \land Q) \lor (P \land R)$
$P \lor (Q \land R) = (P \lor Q) \land (P \lor R)$
Double négation
$\overline{\overline{P}} = P$
Contraposée
$P \Rightarrow Q \iff \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$
Preuve d'une loi logique

Exemple : Montrons que $(P \land Q) \Rightarrow P$ est une loi logique.

Étape 1 : $(P \land Q) \Rightarrow P \equiv \overline{P \land Q} \lor P$
Étape 2 : $\equiv (\overline{P} \lor \overline{Q}) \lor P$
Étape 3 : $\equiv (\overline{P} \lor P) \lor \overline{Q}$
Étape 4 : $\equiv V \lor \overline{Q} \equiv V$

Conclusion : La proposition est toujours vraie, c'est une loi logique.

Résumé
  • Une loi logique est une proposition toujours vraie.
  • Lois de Morgan : $\overline{P \land Q} = \overline{P} \lor \overline{Q}$ et $\overline{P \lor Q} = \overline{P} \land \overline{Q}$.
  • La double négation : $\overline{\overline{P}} = P$.
  • La contraposée : $P \Rightarrow Q \iff \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.
  • La distributivité de $\land$ sur $\lor$ et de $\lor$ sur $\land$.

2 Raisonnement par contre-exemple

Définition

Pour prouver que la propriété $\forall x \in E,\ P(x)$ est fausse, il suffit de prouver que $\exists x \in E,\ \overline{P(x)}$ est vraie (c.à.d. de trouver un élément x de E qui ne vérifie pas P(x), ce qu'on appelle un contre-exemple).

Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par contre-exemple.

Exemple

Question : Est-ce que la somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel ?

Contre-exemple : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont deux nombres irrationnels.
Vérification : Leur somme est $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ qui n'est pas un nombre irrationnel.

Conclusion : La propriété « la somme de deux irrationnels est irrationnelle » est fausse.

Résumé
  • On utilise le contre-exemple pour réfuter une propriété universelle ($\forall$).
  • Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une propriété est fausse.

3 Raisonnement par équivalences successives

Définition

Pour démontrer que l'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ est vraie, on démontre que :

$P \Leftrightarrow Q_1 \Leftrightarrow Q_2 \Leftrightarrow Q_3 \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow Q_n \Leftrightarrow Q$

Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par équivalences successives.

Exemple

Montrer que : $\forall a,b \in \mathbb{R} : a^2 + b^2 = 2ab \iff a = b$

Étape 1 : $a^2 + b^2 = 2ab$
Étape 2 : $\iff a^2 + b^2 - 2ab = 0$
Étape 3 : $\iff (a - b)^2 = 0$
Étape 4 : $\iff a - b = 0$
Étape 5 : $\iff a = b$

Conclusion : $\forall a,b \in \mathbb{R} : a^2 + b^2 = 2ab \iff a = b$

Résumé
  • On enchaîne des équivalences logiques.
  • Si $P \Leftrightarrow Q_1 \Leftrightarrow Q_2 \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow Q$, alors $P \Leftrightarrow Q$.
  • Utile pour les démonstrations d'égalités ou d'équations.

4 Raisonnement déductif

Définition

Si on a l'implication $P \Rightarrow Q$ est vraie et on a comme donnée la proposition P, alors on déduit que la proposition Q est vraie.

Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par déduction.

Modus ponens : de P et P⇒Q on déduit Q

Exemple
1. On suppose qu'on a démontré : $\forall a,b > 0,\ \sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$
2. On déduit que : $\forall x > 0,\ 2\sqrt{x} \le 1 + x$
Preuve : D'après la 1ère question, on pose $a = 1$ et $b = x$.
D'où : $\sqrt{1 \times x} \le \dfrac{1 + x}{2} \Rightarrow 2\sqrt{x} \le 1 + x$

Conclusion : $\forall x > 0,\ 2\sqrt{x} \le 1 + x$

Résumé
  • Si $P \Rightarrow Q$ est vraie et $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie.
  • Le raisonnement déductif utilise la règle du modus ponens.
  • Forme générale : $P$ (donnée) et $P \Rightarrow Q$ (théorème) $\Rightarrow Q$ (conclusion).

5 Raisonnement par contraposée

Définition

Pour démontrer l'implication $P \Rightarrow Q$, il suffit de démontrer l'implication $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.

Ce mode de raisonnement s'appelle raisonnement par contraposée.

P ⇒ Q et sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P sont équivalentes

Exemple

Montrer que : $\forall x,y \in ]2, +\infty[,\ x \neq y \Rightarrow x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$

On utilise un raisonnement par contraposée.

On démontre : $\forall x,y \in ]2, +\infty[,\ x^2 - 4x = y^2 - 4y \Rightarrow x = y$

Étape 1 : $x^2 - 4x = y^2 - 4y$
Étape 2 : $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4$
Étape 3 : $\Rightarrow (x-2)^2 = (y-2)^2$
Étape 4 : $\Rightarrow x-2 = y-2$ (car $x,y > 2$ donc $x-2$ et $y-2$ sont positifs)
Étape 5 : $\Rightarrow x = y$

Conclusion : L'implication contraposée est vraie, donc l'implication initiale est vraie.

Résumé
  • $P \Rightarrow Q \iff \overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$
  • Utile quand il est plus facile de démontrer la contraposée.
  • Souvent utilisé pour les implications avec des inégalités.
Partie 2 Partie 4