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Partie 1 : Repère orthonormé et expression analytique du produit scalaire

Table des matières

1 Base et repère orthonormés

Rappel

Pour $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ est défini, avec $H$ projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, par $\vec{u}.\vec{v} = AB \times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont même sens, et $\vec{u}.\vec{v} = -AB\times AH$ sinon. On a aussi $\vec{u}.\vec{u} = \vec{u}^2 = AB^2 \geq 0$ (carré scalaire), et $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}.\vec{u}}$.

Définitions

Soit $\beta(\vec{i},\vec{j})$ une base de $\mathcal{V}_2$ :

  • $\beta$ est dite orthogonale si $\vec{i}.\vec{j} = 0$ ;
  • $\beta$ est dite normée si $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$ ;
  • une base à la fois orthogonale et normée s'appelle une base orthonormée.

Soit $\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})$ un repère du plan $(\mathcal{P})$. On dit que $\mathcal{R}$ est orthonormé si la base $\beta(\vec{i},\vec{j})$ associée à $\mathcal{R}$ est orthonormée.

📐 Repère orthonormé et coordonnées d'un vecteur

$\vec{u}(x,y) = x\vec{i} + y\vec{j}$ dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$

Résumé
  • Une base $(\vec i,\vec j)$ est orthonormée si $\vec i\cdot\vec j=0$ et $\|\vec i\|=\|\vec j\|=1$.
  • Un repère $(O,\vec i,\vec j)$ est orthonormé si sa base associée l'est.

2 Expression analytique du produit scalaire

Activité : $\beta(\vec{i},\vec{j})$ est une base orthonormée de $\mathcal{V}_2$. Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{u'}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs, avec $\vec{u} = x\vec{i}+y\vec{j}$ et $\vec{u'} = x'\vec{i}+y'\vec{j}$. Calculer $\vec{u}.\vec{u'}$.

Démonstration : D'après la bilinéarité du produit scalaire :

$$\vec{u}.\vec{u'} = (x\vec{i}+y\vec{j}).(x'\vec{i}+y'\vec{j}) = xx'\vec{i}^2 + xy'\vec{i}.\vec{j} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yy'\vec{j}^2$$

Or $\beta(\vec{i},\vec{j})$ est orthonormée, donc $\vec{i}.\vec{j}=0$ et $\vec{i}^2=\vec{j}^2=1$. D'où :

$$\vec{u}.\vec{u'} = xx' + yy'$$
Propriété

L'espace $\mathcal{V}_2$ est rapporté à une base orthonormée $\beta(\vec{i},\vec{j})$. Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{u'}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs de $\mathcal{V}_2$ :

$$\vec{u}.\vec{u'} = xx'+yy' \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2} \qquad \vec{u}\perp\vec{u'} \iff xx'+yy'=0$$

Si $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$, alors :

$$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
📝 Exercice 1

Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormé $\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})$. Considérons les points $A(2,1)$, $B(5,0)$ et $C(7,6)$.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, puis calculer sa surface.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ : $\overrightarrow{BA}(2-5,1-0) = (-3,1)$ et $\overrightarrow{BC}(7-5,6-0) = (2,6)$.
Étape 2 : On calcule le produit scalaire : $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = (-3)\times 2 + 1\times 6 = -6+6 = 0$.
Étape 3 : Puisque $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0$, on a $\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{BC}$, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Étape 4 : $BA = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{10}$ et $BC = \sqrt{2^2+6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
Étape 5 : Le triangle étant rectangle en $B$, sa surface est $S = \dfrac{1}{2}\times BA \times BC = \dfrac{1}{2}\times\sqrt{10}\times 2\sqrt{10} = 10$.
Conclusion

$ABC$ est rectangle en $B$, et sa surface est $S = 10$ unités d'aire.

📝 Exercice 2

Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormé $\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère la droite $(D): 2x-y+1=0$ et $N$ un point de $(D)$ d'abscisse $\alpha$.

1) Déterminer les coordonnées de $N$.   2) Déterminer la distance $ON$.   3) Pour quelle valeur de $\alpha$ la distance $ON$ est-elle minimale ?

✅ Solution détaillée
Étape 1 : $N$ a pour abscisse $\alpha$ et appartient à $(D)$, donc son ordonnée vérifie $2\alpha - y + 1 = 0 \iff y = 2\alpha+1$. D'où $N(\alpha, 2\alpha+1)$.
Étape 2 : $ON = \sqrt{\alpha^2+(2\alpha+1)^2} = \sqrt{\alpha^2+4\alpha^2+4\alpha+1} = \sqrt{5\alpha^2+4\alpha+1}$.
Étape 3 : $ON$ est minimale quand $ON^2 = 5\alpha^2+4\alpha+1$ est minimal (fonction du second degré en $\alpha$, de coefficient dominant $5>0$).
Étape 4 : Le minimum est atteint pour $\alpha = -\dfrac{4}{2\times 5} = -\dfrac{2}{5}$.
Conclusion

La distance $ON$ est minimale pour $\alpha = -\dfrac{2}{5}$ (ce minimum correspond à la distance de $O$ à la droite $(D)$, notion que l'on retrouvera à la partie 4).

Résumé
  • Dans une base orthonormée : $\vec u\cdot\vec u' = xx'+yy'$.
  • $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$ et $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
  • $\vec u\perp\vec u' \iff xx'+yy'=0$.
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