∫
π
√
∑
Δ
∞
x²
sinθ
Xpert © 2026 - 1 Bac Sciences Expérimentales
Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$, la forme trigonométrique du produit scalaire est :
Activité : Soit $\beta(\vec{i},\vec{j})$ une base orthonormée. Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls. En combinant $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$ (partie 1) avec la forme trigonométrique ci-dessus, exprimer $\cos(\vec{u},\vec{v})$.
Activité : Soit $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un vecteur non nul et $\alpha$ la mesure de l'angle polaire $(\widehat{\vec{i},\vec{u}})$. Puisque $\vec{i}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, on a $\vec{u}.\vec{i}=x$ ; et puisque $\vec{j}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$, on a $\vec{u}.\vec{j}=y$. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $\|\vec{u}\|$ et $\alpha$.
📐 Angle polaire d'un vecteur
$x = \|\vec{u}\|\cos\alpha$ et $y = \|\vec{u}\|\sin\alpha$
Démonstration : D'une part $\vec{u}.\vec{i} = \|\vec{u}\|\|\vec{i}\|\cos(\widehat{\vec{i},\vec{u}}) = \|\vec{u}\|\cos\alpha$. D'autre part, $\vec{u}.\vec{j} = \|\vec{u}\|\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \|\vec{u}\|\sin\alpha$.
On en déduit :
Et par suite :
Cette écriture s'appelle l'écriture trigonométrique du vecteur $\vec{u}$.
Activité : Soit $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $\alpha$ la mesure de l'angle polaire $(\widehat{\vec{i},\vec{u}})$, et $\vec{w}$ le vecteur tel que $\|\vec{w}\|=\|\vec{u}\|$ et $(\widehat{\vec{u},\vec{w}}) \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ (rotation de $\vec{u}$ d'un quart de tour).
Démonstration : D'après l'écriture trigonométrique de $\vec{w}$ (d'angle polaire $\alpha+\frac{\pi}{2}$) :
Donc $\vec{w}\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$. Soit $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ un second vecteur non nul et $\theta \equiv (\widehat{\vec{u},\vec{v}})\ [2\pi]$. On calcule $\vec{v}.\vec{w} = -x'y+xy'$, et d'autre part :
D'où $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta = xy'-x'y = \det(\vec{u},\vec{v})$, et donc :
L'espace $\mathcal{V}_2$ est rapporté à une base orthonormée $\beta(\vec{i},\vec{j})$. Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls :
Déterminer la mesure principale de l'angle défini par $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$.
La mesure principale de l'angle $(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$ est $\dfrac{\pi}{4}$.
Activité : Dans le plan $(\mathcal{P})$, on considère un triangle $ABC$ non aplati et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Exprimer la surface $S$ de $ABC$ en fonction de $\sin(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})$ puis en fonction de $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
📐 Aire du triangle ABC
$H$ : projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
Démonstration : $S = \dfrac{1}{2}\times AB \times CH$. Or dans le triangle rectangle $ACH$, $CH = AC\times|\sin(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})|$. D'où $S=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times|\sin(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})|$. Comme $\sin(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}) = \dfrac{\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}{AB\times AC}$, on obtient $S=\dfrac{1}{2}|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|$.
$ABC$ est un triangle dans le plan $(\mathcal{P})$ :
($S_{ABCD}$ : aire du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Considérons les points $A(1,-1)$, $B(4,-1)$ et $C(2,2)$. Calculer $S_{ABC}$.
La surface du triangle $ABC$ est $S_{ABC} = \dfrac{9}{2}$ unités d'aire.