✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
Retour

Partie 3 : Vecteur normal et équation cartésienne d'une droite

Table des matières

1 Vecteur normal à une droite

Définition

Soit $D(A,\vec{u})$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$. Tout vecteur $\vec{n}$ non nul et orthogonal à $\vec{u}$ s'appelle un vecteur normal à la droite $D(A,\vec{u})$.

📐 Vecteur directeur et vecteur normal

$\vec{n} \perp \vec{u}$ : $\vec{n}$ est normal à la droite $(D)$

Remarques
  • Si $\vec{n}$ est normal à une droite $(D)$, alors tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{n}$ est aussi normal à $(D)$.
  • Si $(D): ax+by+c=0$, alors $\vec{u}(-b,a)$ est un vecteur directeur de $(D)$, et le vecteur $\vec{n}(a,b)$ est non nul et orthogonal à $\vec{u}$ (car $a\times(-b)+b\times a=0$) : il est donc normal à $(D)$.
Résumé
  • $\vec n$ non nul est normal à $D$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $D$.

2 Équation cartésienne d'une droite définie par un point et un vecteur normal

Activité : Soient $A(x_A,y_A)$ un point donné et $\vec{n}(a,b)$ un vecteur non nul. Soit $(D)$ la droite passant par $A$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur normal. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $M(x,y) \in (D)$.

Démonstration :

$$M(x,y)\in(D) \iff \overrightarrow{AM}.\vec{n}=0 \iff \binom{x-x_A}{y-y_A}.\binom{a}{b}=0 \iff a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$$
Propriété

Soient $A(x_A,y_A)$ un point donné et $\vec{n}(a,b)$ un vecteur non nul. La droite $(D)$ passant par $A$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur normal a pour équation cartésienne :

$$(D): a(x-x_A)+b(y-y_A)=0 \quad \text{c.-à-d.} \quad ax+by+c=0 \ \text{ avec } \ c=-(ax_A+by_A)$$

Réciproquement, pour une équation $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\neq(0,0)$, le vecteur $\vec{n}(a,b)$ est normal à la droite, et $\vec{u}(-b,a)$ en est un vecteur directeur.

📝 Exercice 1

Considérons le triangle $ABC$ tel que $A(2,1)$, $B(0,1)$ et $C(-2,3)$. Déterminer les équations cartésiennes des médiatrices de $[AB]$ et $[AC]$, puis en déduire le centre $\Omega$ du cercle circonscrit à $ABC$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : La médiatrice $(D_1)$ de $[AB]$ passe par le milieu $I\left(1,1\right)$ de $[AB]$ et admet $\overrightarrow{AB}(-2,0)$ comme vecteur normal.
$(D_1): -2(x-1)+0(y-1)=0 \iff x-1=0$
Étape 2 : La médiatrice $(D_2)$ de $[AC]$ passe par le milieu $J(0,2)$ de $[AC]$ et admet $\overrightarrow{AC}(-4,2)$ comme vecteur normal.
$(D_2): -4(x-0)+2(y-2)=0 \iff -4x+2y-4=0 \iff -2x+y-2=0$
Étape 3 : $\Omega$ est l'intersection de $(D_1)$ et $(D_2)$ : $x=1$ et $-2(1)+y-2=0 \iff y=4$.
Conclusion

$\Omega(1,4)$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Résumé
  • La droite passant par $A(x_0,y_0)$ de vecteur normal $\vec n(a,b)$ a pour équation $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$, soit $ax+by+c=0$.
  • Réciproquement $\vec n(a,b)$ est normal à toute droite $ax+by+c=0$.

3 Droites perpendiculaires

Propriété

On considère les droites $(D): ax+by+c=0$ et $(D'): a'x+b'y+c'=0$, de vecteurs normaux respectifs $\vec{n}(a,b)$ et $\vec{n'}(a',b')$. Alors :

$$(D')\perp(D) \iff \vec{n}.\vec{n'}=0 \iff aa'+bb'=0$$

En effet, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou, de façon équivalente, leurs vecteurs directeurs) sont orthogonaux.

📝 Exercice 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D')$ orthogonale à $(D): 2x+y-3=0$ et passant par le point $A(1,1)$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : $\vec{n}(2,1)$ est un vecteur normal de $(D)$.
Étape 2 : Puisque $(D')\perp(D)$, un vecteur normal $\vec{n'}(a',b')$ de $(D')$ vérifie $2a'+b'=0$. On peut choisir $\vec{n'}(1,-2)$ (vecteur directeur de $(D)$, orthogonal à $\vec{n}$).
Étape 3 : $(D')$ passe par $A(1,1)$ et admet $\vec{n'}(1,-2)$ comme vecteur normal :
$(D'): 1(x-1)-2(y-1)=0 \iff x-2y+1=0$
Conclusion

$(D'): x-2y+1=0$.

Résumé
  • $D\perp D' \iff aa'+bb'=0$ (produit scalaire des vecteurs normaux nul).
  • $D\parallel D' \iff ab'-a'b=0$ (vecteurs normaux colinéaires).
Partie 2 Partie 4