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Partie 5 : Le cercle - étude analytique

Table des matières

1 Équation cartésienne du cercle $C(\Omega(a,b);r)$

Activité : Soit $\Omega(a,b)$ un point du plan et $r>0$. Un point $M(x,y)$ appartient au cercle $C(\Omega(a,b);r)$ si et seulement si $\Omega M = r$, c'est-à-dire $\Omega M^2=r^2$.

📐 Cercle de centre Ω(a,b) et de rayon r

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Démonstration : $M(x,y)\in C(\Omega(a,b);r) \iff \Omega M^2=r^2 \iff (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. En développant : $x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$.

Propriété

Tout cercle $C(\Omega(a,b);r)$ a pour équation cartésienne :

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \quad \text{ou encore} \quad x^2+y^2-2ax-2by+c=0 \ \text{ avec } c=a^2+b^2-r^2$$
Résumé
  • Le cercle de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

2 Cercle de diamètre $[AB]$

Activité : Soient $A\neq B$ deux points du plan et $M(x,y)$ un point du plan. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ appartienne au cercle $\mathcal{C}_{[AB]}$ de diamètre $[AB]$.

Démonstration : $M\in\mathcal{C}_{[AB]}$ (avec $M\neq A$ et $M\neq B$) si et seulement si le triangle $ABM$ est rectangle en $M$ (angle inscrit dans un demi-cercle), c'est-à-dire $\overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$, soit $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$. Cette relation reste vraie aussi quand $M=A$ ou $M=B$.

Propriété

Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour équation cartésienne :

$$M(x,y)\in\mathcal{C}_{[AB]} \iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$$
📝 Exercice 1

$A(1,0)$ et $B(-1,0)$ deux points du plan. Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : $M(x,y)\in\mathcal{C}_{[AB]} \iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$.
Étape 2 : $\overrightarrow{AM}(x-1,y)$ et $\overrightarrow{BM}(x+1,y)$.
$(x-1)(x+1)+y\times y=0 \iff x^2-1+y^2=0 \iff x^2+y^2-1=0$
Conclusion

$\mathcal{C}_{[AB]}: x^2+y^2-1=0$ (le cercle trigonométrique).

Résumé
  • $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ $\iff \vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$.

3 Cercle passant par trois points, présentation paramétrique

Propriété

Le cercle passant par trois points $A$, $B$, $C$ non alignés est le cercle circonscrit au triangle $ABC$ : son centre $\Omega$ est l'intersection des médiatrices de $ABC$ (voir partie 3), et son rayon est $r=\Omega A$.

Présentation paramétrique d'un cercle

$C(\Omega(a,b);r)$ est un cercle rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Pour tout point $M(x,y)$ du cercle, il existe $\theta\in\mathbb{R}$ (avec $(\widehat{\vec{i},\overrightarrow{\Omega M}})\equiv\theta\ [2\pi]$) tel que :

$$\begin{cases} x=a+r\cos\theta \\ y=b+r\sin\theta \end{cases}$$

Exemple : le cercle trigonométrique $C(O(0,0);1)$ admet la présentation paramétrique $x=\cos\theta$, $y=\sin\theta$, $\theta\in\mathbb{R}$.

Résumé
  • Pour trouver le cercle passant par 3 points : injecter leurs coordonnées dans $x^2+y^2+ax+by+c=0$ et résoudre le système en $(a,b,c)$.

4 Ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x^2+y^2+ax+by+c=0$

Activité : $a$, $b$, $c$ étant des réels donnés, on cherche l'ensemble des points $M(x,y)$ vérifiant $x^2+y^2+ax+by+c=0$. En mettant sous forme canonique $\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2+b^2-4c}{4}$, discuter selon le signe de $\Delta=a^2+b^2-4c$.

Propriété

L'ensemble $S$ des points $M(x,y)$ du plan vérifiant $x^2+y^2+ax+by+c=0$, avec $\Delta=a^2+b^2-4c$ :

  • Si $\Delta<0$ : $S=\varnothing$.
  • Si $\Delta=0$ : $S=\left\{\Omega\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2}\right)\right\}$ (un point unique).
  • Si $\Delta>0$ : $S$ est le cercle $C\left(\Omega\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2}\right);\ r=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}\right)$.
Résumé
  • En posant $\delta=\dfrac{a^2+b^2-4c}{4}$ : cercle si $\delta>0$, point si $\delta=0$, ensemble vide si $\delta<0$.

5 Positions relatives d'une droite et d'un cercle, tangente

PositionCondition sur $d(\Omega,(D))$
$(D)$ et $(C)$ disjoints$d(\Omega,(D)) > r$
$(D)$ tangente à $(C)$$d(\Omega,(D)) = r$
$(D)$ coupe $(C)$ en deux points$d(\Omega,(D)) < r$

📐 Droite tangente à un cercle

$(D)$ tangente au cercle $C(\Omega,r)$ en $A$ : $\overrightarrow{\Omega A}\perp\vec{u}$

Propriété

L'équation cartésienne de la droite $D(A;\vec{u})$ tangente au cercle $C(\Omega,r)$ en un point $A(x_A,y_A)$ de $C(\Omega,r)$ est :

$$\overrightarrow{\Omega A}.\vec{u}=0$$

La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$ (le rayon en $A$ est perpendiculaire à la tangente).

📝 Exercice 2

On considère le cercle $C(\Omega(1,2);\sqrt5)$ et le point $A(3,3)$ de ce cercle. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à $C$ en $A$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : $\overrightarrow{\Omega A}(3-1,3-2)=(2,1)$, qui est un vecteur normal à la tangente cherchée.
Étape 2 : La tangente passe par $A(3,3)$ et admet $\vec{n}(2,1)$ comme vecteur normal :
$2(x-3)+1(y-3)=0 \iff 2x+y-9=0$
Conclusion

La tangente à $C$ en $A$ a pour équation $2x+y-9=0$.

Résumé
  • On compare $d(\Omega,D)$ à $r$ : sécante si $dr$.
  • Si $D$ est tangente en $A$, alors $\vec{\Omega A}$ est un vecteur normal à $D$.
Partie 4 Résumé