∫
π
√
∑
Δ
∞
x²
sinθ
Xpert © 2026 - 1 Bac Sciences Expérimentales
Une base $\beta(\vec{i},\vec{j})$ est orthogonale si $\vec{i}.\vec{j}=0$, normée si $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1$, et orthonormée si les deux à la fois. Un repère $\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé si sa base l'est.
Dans une base orthonormée, pour $\vec{u}(x,y)$ et $\vec{u'}(x',y')$ :
Si $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
Soient $A(2,1)$, $B(5,0)$ et $C(7,6)$. Montrons que $ABC$ est rectangle en $B$.
Conclusion : $\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{BC}$, donc $ABC$ est rectangle en $B$.
Décomposition d'un vecteur $\vec{u}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}$
Écriture trigonométrique : $\vec{u}=\|\vec{u}\|(\cos\alpha\,\vec{i}+\sin\alpha\,\vec{j})$, avec $\alpha$ angle polaire de $\vec{u}$ (mesure de $(\widehat{\vec{i},\vec{u}})$).
Soient $\vec{u}(-1,3)$ et $\vec{v}(-2,1)$.
Résultat : $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.
Exemple : $A(1,-1)$, $B(4,-1)$, $C(2,2)$ : $\overrightarrow{AB}(3,0)$, $\overrightarrow{AC}(1,3)$, $\det=9$, donc $S_{ABC}=\dfrac{9}{2}$.
Aire du triangle $ABC$ via la hauteur $CH$
$\vec{n}$ est normal à une droite $(D)$ s'il est non nul et orthogonal à son vecteur directeur $\vec{u}$.
Pour $(D): ax+by+c=0$ : $\vec{n}(a,b)$ est normal et $\vec{u}(-b,a)$ est directeur.
Soit $A(2,1)$, $B(0,1)$, $C(-2,3)$. Médiatrice $(D_1)$ de $[AB]$ : passe par $I(1,1)$ (milieu de $[AB]$), normale $\overrightarrow{AB}(-2,0)$.
Résultat : $\Omega=(D_1)\cap(D_2)=(1,4)$, centre du cercle circonscrit à $ABC$.
Exemple : $(D): 3x+4y+5=0$ et $O(0,0)$ : $d(O,(D)) = \dfrac{|5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{5}{5}=1$.
$d(M_0,(D))=M_0H$, $H$ projeté orthogonal de $M_0$ sur $(D)$
Égalité dans Cauchy-Schwarz $\iff \vec{u},\vec{v}$ colinéaires. Égalité triangulaire $\iff$ colinéaires de même sens.
Cercle de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$
Exemple : $A(1,0)$, $B(-1,0)$ donnent $\mathcal{C}_{[AB]}: x^2+y^2-1=0$ (cercle trigonométrique).
Avec $\Delta=a^2+b^2-4c$ :
$d(\Omega,(D))>r$ : disjoints ; $=r$ : tangente ; $ Exemple : $C(\Omega(1,2);\sqrt5)$, $A(3,3)\in C$. $\overrightarrow{\Omega A}(2,1)$ normal à la tangente : $2(x-3)+(y-3)=0 \iff 2x+y-9=0$.
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Produit scalaire | $\vec{u}.\vec{u'}=xx'+yy'$ |
| Norme | $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$ |
| Distance $AB$ | $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ |
| $\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$ | $\dfrac{xx'+yy'}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ |
| $\sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$ | $\dfrac{xy'-x'y}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ |
| Aire triangle | $\frac{1}{2}|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|$ |
| Équation droite (point+normal) | $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$ |
| Droites perpendiculaires | $aa'+bb'=0$ |
| Distance point-droite | $\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ |
| Cercle | $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ |
| Cercle de diamètre $[AB]$ | $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$ |
| Tangente en $A\in C(\Omega,r)$ | $\overrightarrow{\Omega A}.\vec{u}=0$ |
Soit $A(2,1)$, $B(5,0)$, $C(7,6)$.
1) Montrer que $ABC$ est rectangle en $B$ et calculer son aire.
2) En déduire le centre $\Omega$ du cercle circonscrit à $ABC$.
Résultat : aire $=10$ et $\Omega\left(\dfrac{9}{2},\dfrac{7}{2}\right)$, rayon $r=\Omega A=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{50}}{2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$.
Soit $S$ l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x^2+y^2-4x+2y-4=0$.
1) Montrer que $S$ est un cercle et préciser son centre et son rayon.
2) Déterminer une équation de la tangente à $S$ au point $A(5,-1)$.
Résultat : $S$ est le cercle de centre $(2,-1)$ et de rayon $3$ ; sa tangente en $A(5,-1)$ a pour équation $x=5$ (droite verticale).