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Partie 1 : Généralités sur les suites

Table des matières

1 Définition et notations

Définition

Une suite numérique est une application définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie $I$ de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$.

Soit $u$ une suite numérique définie sur $\mathbb{N}$. On note :

$$u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$$
$$n \mapsto u(n) = u_n$$
  • $u_n$ est le terme général ou le terme de rang $n$.
  • L'entier $n$ est l'indice du terme $u_n$.
  • La suite se note $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.
Exemples
  • $(u_n)_{n\ge0}$ définie par $u_n = \dfrac{1}{n+2}$ : $u_0=\frac{1}{2}$, $u_1=\frac{1}{3}$, $u_2=\frac{1}{4}$.
  • $(v_n)_{n\ge3}$ définie par $v_n = \dfrac{1}{n-2}$ : $v_3=1$, $v_4=\frac{1}{2}$, $v_5=\frac{1}{3}$.
Résumé
  • Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$.
  • Le terme général $u_n$ est l'image de $n$.
  • Une suite peut être définie à partir d'un certain rang $n_0$.

2 Modes de génération d'une suite

A. Suite définie par une expression explicite

Définition

Une suite est définie par une expression explicite lorsque le terme $u_n$ est directement exprimé en fonction de $n$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n = 2n + 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

  • $u_0 = 3$, $u_1 = 5$, $u_2 = 7$, $u_3 = 9$.
  • $u_{n+1} - u_n = (2(n+1)+3) - (2n+3) = 2$.

B. Suite définie par une relation de récurrence

Définition

Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu'on donne le (ou les) premier(s) terme(s) et une relation permettant de calculer un terme à partir des précédents.

Suites récurrentes d'ordre 1

On donne $u_0$ et une relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$.

$$\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 3u_n - 1 \end{cases}$$

Calcul de $u_1$, $u_2$, $u_3$ :

n=0 : $u_1 = 3 \times 2 - 1 = 5$
n=1 : $u_2 = 3 \times 5 - 1 = 14$
n=2 : $u_3 = 3 \times 14 - 1 = 41$
Suites récurrentes d'ordre 2

On donne $u_0$ et $u_1$ et une relation entre $u_{n+2}$, $u_{n+1}$ et $u_n$.

$$\begin{cases} u_0 = 1, \ u_1 = -1 \\ u_{n+2} = 2u_{n+1} - 3u_n \end{cases}$$

Calcul de $u_2$, $u_3$, $u_4$ :

n=0 : $u_2 = 2u_1 - 3u_0 = 2(-1) - 3(1) = -5$
n=1 : $u_3 = 2u_2 - 3u_1 = 2(-5) - 3(-1) = -7$
n=2 : $u_4 = 2u_3 - 3u_2 = 2(-7) - 3(-5) = 1$
Remarque importante

Il ne faut pas confondre $u_{n+1}$ (terme d'indice $n+1$) avec $u_n + 1$ (terme $u_n$ augmenté de 1).

Résumé
  • Forme explicite : $u_n = f(n)$ (calcul direct).
  • Forme récurrente : on donne $u_0$ et $u_{n+1} = g(u_n)$ (calcul pas à pas).
  • Une suite récurrente d'ordre 2 : $u_{n+2} = h(u_{n+1}, u_n)$.

3 La célèbre suite de Fibonacci

Définition

La suite de Fibonacci est définie par :

$$\begin{cases} u_0 = 0, \ u_1 = 1 \\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \end{cases}$$

Chaque terme, à partir du rang 2, est la somme des deux termes précédents.

Les premiers termes

$$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \dots$$

Cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Exemple : $u_2 = u_1 + u_0 = 1+0 = 1$
Exemple : $u_3 = u_2 + u_1 = 1+1 = 2$
Exemple : $u_4 = u_3 + u_2 = 2+1 = 3$
Résumé
  • Suite récurrente d'ordre 2.
  • Chaque terme est la somme des deux précédents.
  • Apparaît dans de nombreux domaines (nature, art, mathématiques).
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