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Partie 2 : Suites majorées, minorées, bornées - Monotonie

Table des matières

1 Suite majorée - minorée - bornée

Définitions

Soit $(u_n)_{n\in I}$ une suite numérique où $I \subset \mathbb{N}$.

Suite majorée :

$$\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in I,\ u_n \le M$$

La suite est majorée par $M$.

Suite minorée :

$$\exists m \in \mathbb{R},\ \forall n \in I,\ m \le u_n$$

La suite est minorée par $m$.

Suite bornée :

$$\text{La suite est bornée } \iff \text{ elle est majorée et minorée}$$

Équivalent à :

$$\exists A \in \mathbb{R}^+,\ \forall n \in I,\ |u_n| \le A$$
Exemple 1

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n = \dfrac{n+1}{2n+1}$.

Montrons que $\forall n \in \mathbb{N},\ \frac{1}{2} < u_n \le 1$.

1 : $1 - u_n = \dfrac{n}{2n+1} \ge 0$ donc $u_n \le 1$.
2 : $u_n - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2n+1} > 0$ donc $u_n > \dfrac{1}{2}$.

Conclusion : $(u_n)$ est majorée par $1$, minorée par $\frac{1}{2}$, donc bornée.

Suite $u_n = \dfrac{n+1}{2n+1}$ : convergence vers $\frac{1}{2}$

Exemple 2

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :

$$\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \end{cases}$$

Montrons par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N},\ 0 \le u_n \le 2$.

Initialisation : $u_0 = 0$ donc $0 \le u_0 \le 2$.
Hérédité : Supposons $0 \le u_n \le 2$.
Alors : $2 \le u_n+2 \le 4 \Rightarrow \sqrt{2} \le \sqrt{u_n+2} \le 2$.
Donc : $0 \le u_{n+1} \le 2$.

Conclusion : $(u_n)$ est bornée par $0$ et $2$.

Résumé
  • Majorée : il existe un nombre plus grand que tous les termes.
  • Minorée : il existe un nombre plus petit que tous les termes.
  • Bornée : les deux à la fois ($|u_n| \le A$).

2 Monotonie d'une suite

Définitions

Soit $(u_n)_{n\in I}$ une suite numérique.

Suite croissante :

$$\forall n, m \in I,\ n \ge m \Rightarrow u_n \ge u_m$$

Équivalent à : $\forall n \in I,\ u_{n+1} \ge u_n$.

Suite strictement croissante :

$$\forall n, m \in I,\ n > m \Rightarrow u_n > u_m$$

Équivalent à : $\forall n \in I,\ u_{n+1} > u_n$.

Suite décroissante :

$$\forall n, m \in I,\ n \ge m \Rightarrow u_n \le u_m$$

Équivalent à : $\forall n \in I,\ u_{n+1} \le u_n$.

Suite strictement décroissante :

$$\forall n, m \in I,\ n > m \Rightarrow u_n < u_m$$

Équivalent à : $\forall n \in I,\ u_{n+1} < u_n$.

Suite constante :

$$\forall n, m \in I,\ u_n = u_m$$

Équivalent à : $\forall n \in I,\ u_{n+1} = u_n$.

Exemple 1

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n = \dfrac{-n}{n+2}$.

Étudions la monotonie :

1 : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{-(n+1)}{n+3} - \dfrac{-n}{n+2}$
2 : $= \dfrac{(-n-1)(n+2) + n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$
3 : $= \dfrac{-2}{(n+3)(n+2)} < 0$

Conclusion : $u_{n+1} - u_n < 0$ donc $(u_n)$ est strictement décroissante.

Exemple 2

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2^k}{k}$.

Étudions la monotonie :

1 : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} > 0$

Conclusion : $u_{n+1} - u_n > 0$ donc $(u_n)$ est strictement croissante.

Exemple 3

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}$.

Étudions la monotonie :

1 : $u_{n+1} - u_n = \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{n+1+k} - \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}$
2 : $= \dfrac{1}{2n+1} + \dfrac{1}{2n+2} - \dfrac{1}{n+1}$
3 : $= \dfrac{1}{2n+1} + \dfrac{1}{2n+2} - \dfrac{2}{2n+2} = \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2n+2} > 0$

Conclusion : $(u_n)$ est strictement croissante.

Résumé
  • Pour étudier la monotonie : calculer $u_{n+1} - u_n$.
  • Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$ : suite croissante.
  • Si $u_{n+1} - u_n \le 0$ : suite décroissante.
  • Si $u_{n+1} - u_n = 0$ : suite constante.
  • On peut aussi étudier $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ pour les suites à termes positifs.
Partie 1 Partie 3