Résumé complet - Les suites numériques

1 Généralités - Définitions - Modes de génération

📌 Définition

Une suite numérique est une application définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$.

$u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ $n \mapsto u_n$

$u_n$ est le terme général ou le terme de rang $n$.
La suite se note $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.

📌 Modes de génération

Forme explicite : $u_n = f(n)$ (calcul direct).
Forme récurrente d'ordre 1 : $\begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = g(u_n) \end{cases}$
Forme récurrente d'ordre 2 : $\begin{cases} u_0 = a, u_1 = b \\ u_{n+2} = h(u_{n+1}, u_n) \end{cases}$

📌 Suite de Fibonacci

$\begin{cases} u_0 = 0, u_1 = 1 \\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \end{cases}$

Termes : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.

                    À retenir
                    Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$.
Il ne faut pas confondre $u_{n+1}$ avec $u_n + 1$.

                

2 Suites majorées - minorées - bornées

📌 Définitions

Majorée : $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in I,\ u_n \le M$
Minorée : $\exists m \in \mathbb{R},\ \forall n \in I,\ m \le u_n$
Bornée : $\exists A \in \mathbb{R}^+,\ \forall n \in I,\ |u_n| \le A$

Une suite bornée est à la fois majorée et minorée.

📌 Exemple

Soit $u_n = \dfrac{n+1}{2n+1}$. Montrer que $\dfrac{1}{2} < u_n \le 1$.

1 : $1 - u_n = \dfrac{n}{2n+1} \ge 0$ donc $u_n \le 1$.

2 : $u_n - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2n+1} > 0$ donc $u_n > \dfrac{1}{2}$.

Conclusion : $(u_n)$ est majorée par $1$, minorée par $\frac{1}{2}$, donc bornée.

Suite $u_n = \dfrac{n+1}{2n+1}$ : convergence vers $\frac{1}{2}$

                    À retenir
                    Majorée : il existe un nombre plus grand que tous les termes.
Minorée : il existe un nombre plus petit que tous les termes.
Bornée : les deux à la fois ($|u_n| \le A$).

                

3 Monotonie d'une suite

📌 Définitions

Croissante : $\forall n \in I,\ u_{n+1} \ge u_n$
Strictement croissante : $\forall n \in I,\ u_{n+1} > u_n$
Décroissante : $\forall n \in I,\ u_{n+1} \le u_n$
Strictement décroissante : $\forall n \in I,\ u_{n+1} < u_n$
Constante : $\forall n \in I,\ u_{n+1} = u_n$

📌 Exemple

Soit $u_n = \dfrac{-n}{n+2}$. Étudions la monotonie :

1 : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{-(n+1)}{n+3} - \dfrac{-n}{n+2}$

2 : $= \dfrac{(-n-1)(n+2) + n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

3 : $= \dfrac{-2}{(n+3)(n+2)} < 0$

Conclusion : $(u_n)$ est strictement décroissante.

Suite strictement décroissante $u_n = -\dfrac{n}{n+2}$

                    À retenir
                    Pour étudier la monotonie : calculer $u_{n+1} - u_n$.
Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$ : suite croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \le 0$ : suite décroissante.
On peut aussi étudier $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ pour les suites à termes positifs.

                

4 Suites arithmétiques

📌 Définition

$u_{n+1} = u_n + r$ (où $r$ est la raison)

Si $r > 0$ : suite strictement croissante.
Si $r < 0$ : suite strictement décroissante.
Si $r = 0$ : suite constante.

📌 Propriété caractéristique

$2u_{n+1} = u_n + u_{n+2}$

Trois termes consécutifs $a, b, c$ sont en progression arithmétique ssi $2b = a + c$.

📌 Terme général

$u_n = u_p + (n-p)r$

Cas particuliers : $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_1 + (n-1)r$.

📌 Somme des termes

$S_n = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = \dfrac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2}$

Nombre de termes = $n-p+1$.

$\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=0}^{n} (2k+1) = (n+1)^2$

📌 Exemple

Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_1 = 3$ et $u_5 = 9$.

1 : $u_5 = u_1 + 4r \Rightarrow 9 = 3 + 4r \Rightarrow r = \dfrac{3}{2}$

2 : $u_1 = u_0 + r \Rightarrow 3 = u_0 + \dfrac{3}{2} \Rightarrow u_0 = \dfrac{3}{2}$

3 : $u_n = u_1 + (n-1)r = 3 + \dfrac{3}{2}(n-1) = \dfrac{3}{2}n + \dfrac{3}{2}$

Résultat : $u_n = \dfrac{3}{2}(n+1)$.

                    À retenir
                    $u_{n+1} - u_n = r$ (constante).
$u_n = u_p + (n-p)r$.
$S = \dfrac{\text{(nombre de termes)} \times \text{(premier terme + dernier terme)}}{2}$.

                

5 Suites géométriques

📌 Définition

$u_{n+1} = q \times u_n$ (où $q$ est la raison)

Si $q > 1$ et $u_0 > 0$ : suite strictement croissante.
Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$ : suite strictement décroissante.
Si $q = 1$ : suite constante.
Si $q < 0$ : suite alterne en signe.

📌 Propriété caractéristique

$u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2}$

Trois termes consécutifs $a, b, c$ sont en progression géométrique ssi $b^2 = a \times c$.

📌 Terme général

$u_n = q^{n-p} \times u_p$

Cas particuliers : $u_n = q^n \times u_0$ ou $u_n = q^{n-1} \times u_1$.

📌 Somme des termes

Si $q \neq 1$ : $S_n = u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$
Si $q = 1$ : $S_n = (n-p+1) \times u_p$

📌 Exemple 1

Soit $(u_n)$ géométrique avec $u_1 = \dfrac{3}{2}$ et $u_4 = \dfrac{3}{16}$.

1 : $u_4 = q^3 u_1 \Rightarrow \dfrac{3}{16} = q^3 \times \dfrac{3}{2} \Rightarrow q^3 = \dfrac{1}{8} \Rightarrow q = \dfrac{1}{2}$

2 : $u_n = q^{n-1} \times u_1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \times \dfrac{3}{2}$

Résultat : $u_n = \dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$.

📌 Exemple 2 : Suite auxiliaire

Soit $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{3-u_n} \end{cases}$ et $(v_n)$ définie par $v_n = 1 - \dfrac{2}{u_n}$.

1 : $v_{n+1} = 1 - \dfrac{2}{u_{n+1}} = 1 - \dfrac{2}{\dfrac{u_n}{3-u_n}} = 1 - \dfrac{2(3-u_n)}{u_n} = 3 - \dfrac{6}{u_n} = 3\left(1 - \dfrac{2}{u_n}\right) = 3v_n$

Conclusion : $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 3$.

2 : $v_0 = 1 - \dfrac{2}{u_0} = 1 - \dfrac{2}{1/2} = -3$

3 : $v_n = -3 \times 3^n = -3^{n+1}$

4 : $u_n = \dfrac{2}{1 - v_n} = \dfrac{2}{1 + 3^{n+1}}$

Résultat : $u_n = \dfrac{2}{1+3^{n+1}}$.

                    À retenir
                    $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (constante).
$u_n = q^{n-p} \times u_p$.
Si $q \neq 1$ : $S = u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$.

                

6 Tableau récapitulatif

Caractéristique	Suite Arithmétique	Suite Géométrique
Relation	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_{n+1} = q \times u_n$
Différence/Rapport	$u_{n+1} - u_n = r$	$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$
Terme général	$u_n = u_p + (n-p)r$	$u_n = q^{n-p} \times u_p$
3 termes consécutifs	$2b = a + c$	$b^2 = a \times c$
Somme	$\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$	$u_p \times \dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
Monotonie (si $u_0>0$)	$r > 0$ : croissante $r < 0$ : décroissante	$q > 1$ : croissante $0 < q < 1$ : décroissante

                    Formules à retenir absolument
                    Arithmétique : $u_n = u_0 + nr$ ; $S_n = \dfrac{n(u_0+u_n)}{2}$
Géométrique : $u_n = q^n u_0$ ; $S_n = u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (si $q \neq 1$)
Somme des entiers : $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$
Somme des impairs : $\sum_{k=0}^{n} (2k+1) = (n+1)^2$

                

7 Exercices résolus

📌 Exercice 1

Soit $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \end{cases}$.

1) Montrer que $(u_n)$ est minorée par 0 et majorée par 2.

Initialisation : $u_0 = 1$ donc $0 \le u_0 \le 2$.

Hérédité : Supposons $0 \le u_n \le 2$. Alors $2 \le u_n+2 \le 4 \Rightarrow \sqrt{2} \le \sqrt{u_n+2} \le 2$. Donc $0 \le u_{n+1} \le 2$.

Conclusion : $(u_n)$ est bornée par 0 et 2.

2) Montrer que $(u_n)$ est croissante.

1 : $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n+2} - u_n$

2 : $\sqrt{u_n+2} \ge u_n \iff u_n+2 \ge u_n^2 \iff (u_n-2)(u_n+1) \le 0$

3 : Comme $0 \le u_n \le 2$, $(u_n-2) \le 0$ et $(u_n+1) \ge 1 > 0$.

Conclusion : $u_{n+1} - u_n \ge 0$, donc $(u_n)$ est croissante.

📌 Exercice 2

Une entreprise possède 40 camions en décembre 1991. Elle achète 8 camions supplémentaires chaque année.

1) Calculer le nombre de camions en 1992, 1993 et 1994.

1992 : $40 + 8 = 48$

1993 : $48 + 8 = 56$

1994 : $56 + 8 = 64$

2) Donner la nature de la suite et son expression.

Nature : Suite arithmétique de premier terme $u_1 = 40$ et de raison $r = 8$.

Expression : $u_n = 40 + 8(n-1) = 8n + 32$.

3) Quel est le nombre de camions en 2002 ?

2002 : $n = 12$, $u_{12} = 8 \times 12 + 32 = 128$ camions.

📌 Exercice 3 : Légende de l'échiquier

1 grain sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, etc.

Suite géométrique de premier terme $u_1 = 1$ et de raison $q = 2$.

Nombre de grains : $S_{64} = 1 \times \dfrac{1-2^{64}}{1-2} = 2^{64} - 1$

Résultat : $2^{64} - 1 = 18\,446\,774\,073\,709\,551\,615$ grains.

Cette quantité couvrirait la surface de la France à 1 m de hauteur !

                    📝 Synthèse du cours
                    Suite numérique : application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.
Suite majorée/minorée/bornée : existence d'un majorant/minorant.
Monotonie : étudier $u_{n+1} - u_n$ ou $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + nr$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \times u_n$. Terme général : $u_n = q^n u_0$.
Somme des $n$ premiers termes : $\dfrac{n(u_0+u_n)}{2}$ (arithmétique) ; $u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (géométrique, $q \neq 1$).

                

Résumé complet : Les suites numériques

Table des matières

1 Généralités - Définitions - Modes de génération

2 Suites majorées - minorées - bornées

3 Monotonie d'une suite

4 Suites arithmétiques

5 Suites géométriques

6 Tableau récapitulatif

7 Exercices résolus