1 Définition d'une suite géométrique
Définition
On appelle suite géométrique toute suite $(u_n)_{n\in I}$ définie par son premier terme et par la relation :
$$\forall n \in I,\ u_{n+1} = q \times u_n$$
où $q$ est un réel fixe appelé la raison de la suite.
Le premier terme et la raison sont les éléments caractéristiques de la suite géométrique.
Exemples
- $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} \end{cases}$ est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $u_0 = 2$.
- Les puissances de 2 : $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ est géométrique de raison $q = 2$.
- Les puissances de 3 : $1, 3, 9, 27, 81, \dots$ est géométrique de raison $q = 3$.
Contre-exemple
La suite $(v_n)$ définie par $v_n = 2n + 1$ n'est pas géométrique.
Vérification : $\dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{3}{1} = 3$ et $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{5}{3} \neq 3$
Conclusion : Le rapport n'est pas constant, donc $(v_n)$ n'est pas géométrique.
Résumé
- Une suite géométrique est définie par $u_{n+1} = q \times u_n$.
- La raison $q$ est constante.
- Si $q > 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est strictement croissante.
- Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$ : la suite est strictement décroissante.
- Si $q = 1$ : la suite est constante.
- Si $q < 0$ : la suite alterne en signe.
2 Propriété caractéristique
Propriété
Soit $(u_n)_{n\ge p}$ une suite. Elle est géométrique si et seulement si :
$$\forall n \ge p,\ u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2}$$
Autrement dit : trois termes consécutifs $a, b, c$ sont en progression géométrique ssi :
$$b^2 = a \times c$$
Application
Déterminer le réel $x$ pour que les nombres $(1+x^2)$, $(3+x)$ et $10$ soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique.
1 : $(3+x)^2 = 10(1+x^2)$
2 : $x^2+6x+9 = 10x^2+10$
3 : $9x^2 - 6x + 1 = 0$
4 : $(3x-1)^2 = 0$ donc $x = \dfrac{1}{3}$
Conclusion : $x = \frac{1}{3}$. Les termes sont : $\frac{10}{9}$, $\frac{10}{3}$, $10$. La raison est $q = 3$.
Résumé
- Trois termes consécutifs d'une suite géométrique vérifient $b^2 = a \times c$.
- Cette propriété permet de déterminer des termes inconnus.
3 Terme général d'une suite géométrique
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_p$. Alors :
$$\forall n \ge p,\ u_n = q^{n-p} \times u_p$$
Démonstration
Par multiplication successive :
1 : $u_{p+1} = q \times u_p$
2 : $u_{p+2} = q \times u_{p+1} = q^2 \times u_p$
3 : $u_{p+3} = q \times u_{p+2} = q^3 \times u_p$
... : $u_n = q^{n-p} \times u_p$
Cas particuliers
- Si $p = 0$ : $u_n = q^n \times u_0$
- Si $p = 1$ : $u_n = q^{n-1} \times u_1$
Application 1
Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_1 = \dfrac{3}{2}$ et $u_4 = \dfrac{3}{16}$.
1) Déterminer la raison $q$.
1 : $u_4 = q^{4-1} \times u_1 = q^3 \times u_1$
2 : $\dfrac{3}{16} = q^3 \times \dfrac{3}{2}$
3 : $q^3 = \dfrac{1}{8}$ donc $q = \dfrac{1}{2}$
2) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
1 : $u_n = q^{n-1} \times u_1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \times \dfrac{3}{2}$
Conclusion : $u_n = \dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$.
Application 2 : Suite auxiliaire
Soit $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{3-u_n} \end{cases}$ et $(v_n)$ définie par $v_n = 1 - \dfrac{2}{u_n}$.
1) Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
1 : $v_{n+1} = 1 - \dfrac{2}{u_{n+1}} = 1 - \dfrac{2}{\dfrac{u_n}{3-u_n}} = 1 - \dfrac{2(3-u_n)}{u_n}$
2 : $= 1 - \dfrac{6-2u_n}{u_n} = 1 - \dfrac{6}{u_n} + 2 = 3 - \dfrac{6}{u_n}$
3 : $= 3\left(1 - \dfrac{2}{u_n}\right) = 3v_n$
Donc $v_{n+1} = 3v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 3$.
2) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
1 : $v_0 = 1 - \dfrac{2}{u_0} = 1 - \dfrac{2}{1/2} = 1 - 4 = -3$
2 : $v_n = v_0 \times 3^n = -3 \times 3^n = -3^{n+1}$
3 : $v_n = 1 - \dfrac{2}{u_n} \Rightarrow \dfrac{2}{u_n} = 1 - v_n = 1 + 3^{n+1}$
4 : $u_n = \dfrac{2}{1 + 3^{n+1}}$
Conclusion : $u_n = \dfrac{2}{1+3^{n+1}}$.
Résumé
- $u_n = q^{n-p} \times u_p$
- Pour trouver $q$ : $q^{n-p} = \dfrac{u_n}{u_p}$
- Si $u_p \neq 0$ et $q > 0$.
4 Somme des termes consécutifs
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. La somme $S_n$ des termes de $u_p$ à $u_n$ est :
$$S_n = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q} \quad \text{si } q \neq 1$$
Si $q = 1$ : $S_n = (n-p+1) \times u_p$.
Démonstration
Soit $S_n = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$.
1 : $S_n = u_p + q u_p + q^2 u_p + \cdots + q^{n-p} u_p$
2 : $S_n = u_p(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-p})$
3 : $S_n = u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$)
Exemple 1 : La légende de l'échiquier
Le jeu d'échec : 1 grain sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, etc.
Suite géométrique de premier terme $u_1 = 1$ et de raison $q = 2$.
1 : $S_{64} = 1 \times \dfrac{1-2^{64}}{1-2} = 2^{64} - 1$
Résultat : $2^{64} - 1 = 18\,446\,774\,073\,709\,551\,615$ grains.
Exemple 2
Calculer $S_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \cdots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$.
Suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$.
1 : $S_n = 1 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2\left(1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$
Résultat : $\sum_{k=0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k = 2\left(1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$.
Résumé
- Si $q \neq 1$ : $S = u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$
- Si $q = 1$ : $S = (n-p+1) \times u_p$
- Nombre de termes = $n-p+1$
