Série 1 - Barycentre

1 Exercice 1

Construire le point $G = \text{Bar}\{(A, 4); (B, -5)\}$.

Solution

✅ Solution détaillée

On a $G = \text{Bar}\{(A, 4); (B, -5)\}$. Donc :

$$4\overrightarrow{GA} - 5\overrightarrow{GB} = 0$$

Étape 1 : On utilise la relation de Chasles :

$$4\overrightarrow{GA} - 5(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) = 0$$ $$4\overrightarrow{GA} - 5\overrightarrow{GA} - 5\overrightarrow{AB} = 0$$ $$-\overrightarrow{GA} - 5\overrightarrow{AB} = 0$$

Étape 2 : On transforme $-\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{AG}$ :

$$\overrightarrow{AG} - 5\overrightarrow{AB} = 0 \iff \overrightarrow{AG} = 5\overrightarrow{AB}$$

Étape 3 : Construction :

Placer le point $G$ sur la droite $(AB)$
Tel que $\overrightarrow{AG} = 5\overrightarrow{AB}$
$G$ est à l'extérieur du segment $[AB]$, du côté de $B$

Conclusion

$G$ est le point tel que $\overrightarrow{AG} = 5\overrightarrow{AB}$.

Construction de G = Bar{(A,4); (B,-5)}

2 Exercice 2

Construire le point $G = \text{Bar}\{(A, \sqrt{8}); (B, -\sqrt{2})\}$.

Solution

✅ Solution détaillée

On a $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Donc :

Étape 1 : On simplifie les poids en divisant par $\sqrt{2}$ :

$$G = \text{Bar}\left\{\left(A, \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\right); \left(B, -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)\right\} = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -1)\}$$

Étape 2 : $G = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -1)\}$. Donc :

$$2\overrightarrow{GA} - \overrightarrow{GB} = 0$$

Étape 3 : On utilise la relation de Chasles :

$$2\overrightarrow{GA} - (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) = 0$$ $$2\overrightarrow{GA} - \overrightarrow{GA} - \overrightarrow{AB} = 0$$ $$\overrightarrow{GA} - \overrightarrow{AB} = 0$$

Étape 4 : On transforme :

$$-\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$$

Conclusion

$G$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$ (car $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{BA}$).

Construction de G = Bar{(A,√8); (B,-√2)}

3 Exercice 3

Dans le plan $(P)$ rapporté à un repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, soient $A(3;2)$ et $B(4;1)$. Soit $G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, -5)\}$. Déterminer les coordonnées de $G$.

Solution

✅ Solution détaillée

Rappel : Si $G = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\}$ alors :

$$x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta} \quad \text{et} \quad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}$$

Étape 1 : On identifie les poids : $\alpha = 1$, $\beta = -5$.
$\alpha + \beta = 1 + (-5) = -4 \neq 0$ ✅

Étape 2 : On calcule l'abscisse :

$$x_G = \frac{1 \times 3 + (-5) \times 4}{1 + (-5)} = \frac{3 - 20}{-4} = \frac{-17}{-4} = \frac{17}{4}$$

Étape 3 : On calcule l'ordonnée :

$$y_G = \frac{1 \times 2 + (-5) \times 1}{1 + (-5)} = \frac{2 - 5}{-4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$$

Conclusion
                                    $$G\left(\frac{17}{4}; \frac{3}{4}\right)$$
                                

Position de G dans le repère

4 Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle et soit $I = \text{Bar}\{(B, 4); (C, -3)\}$. Déterminer les coordonnées du point $I$ dans le repère $R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$.

Solution

✅ Solution détaillée

Dans le repère $R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$ :

$$A(0;0), \quad B(1;0), \quad C(0;1)$$

Étape 1 : $I = \text{Bar}\{(B, 4); (C, -3)\}$.
$\alpha = 4$, $\beta = -3$, $\alpha + \beta = 1 \neq 0$ ✅

Étape 2 : On calcule les coordonnées :

$$x_I = \frac{4 \times 1 + (-3) \times 0}{4 + (-3)} = \frac{4}{1} = 4$$ $$y_I = \frac{4 \times 0 + (-3) \times 1}{4 + (-3)} = \frac{-3}{1} = -3$$

Étape 3 : Vérification avec la formule vectorielle :

$$(4 + (-3))\overrightarrow{AI} = 4\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$$ $$\overrightarrow{AI} = 4\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$$

Conclusion
                                    $$I(4; -3) \text{ dans le repère } R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$$
                                

Position de I dans le repère (A; AB; AC)