Série 2 - Barycentre

5 Exercice 5

\(E\) et \(F\) deux points du plan tels que : \(\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF}\) et \(E \in (AB)\). \(G\) est le barycentre des points \((A;2)\) et \((B;-3)\).

1)

Montrer que \(G\) est le barycentre des points \((E;-1)\) et \((F;2)\).

✅ Solution

Étape 1 : \(\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF} = 2(\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GF})\)

Étape 2 : \(\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EG} + 2\overrightarrow{GF} \Rightarrow -\overrightarrow{EG} - 2\overrightarrow{GF} = 0\)

Étape 3 : \(-\overrightarrow{EG} + 2\overrightarrow{FG} = 0 \Rightarrow -\overrightarrow{GE} + 2\overrightarrow{GF} = 0\)

Conclusion\(G = \text{Bar}\{(E, -1); (F, 2)\}\)

2)

En déduire que les droites \((EF)\) et \((AB)\) se coupent et déterminer le point d'intersection.

✅ Solution

Étape 1 : D'après la question 1, \(G \in (EF)\).

Étape 2 : On a aussi \(G = \text{Bar}\{(A,2); (B,-3)\}\), donc \(G \in (AB)\).

Étape 3 : Puisque \(G \in (EF)\) et \(G \in (AB)\), on a \((EF) \cap (AB) = \{G\}\).

Conclusion

Les droites \((EF)\) et \((AB)\) se coupent en \(G\).

(EF) ∩ (AB) = {G}

6 Exercice 6

Dans le plan \((P)\) rapporté à un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\), soient \(A(0;5)\), \(B(3;2)\). Soit \(G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2)\}\).

1)

Déterminer les coordonnées de \(G\).

✅ Solution

Étape 1 : \(\alpha=1\), \(\beta=2\), \(\alpha+\beta=3 \neq 0\)

Étape 2 : \(x_G = \frac{1\times0 + 2\times3}{3} = 2\), \(y_G = \frac{1\times5 + 2\times2}{3} = 3\)

Conclusion\(G(2;3)\)

2)

Déterminer et dessiner l'ensemble \((C) = \{M \in (P) \mid \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = 6\}\).

✅ Solution

Étape 1 : Propriété caractéristique : \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MG}\)

Étape 2 : \(\|3\overrightarrow{MG}\| = 6 \iff 3MG = 6 \iff MG = 2\)

Conclusion

\((C)\) est le cercle de centre \(G(2;3)\) et de rayon \(r=2\).

\((C) = \mathcal{C}(G, 2)\)

Cercle \(\mathcal{C}(G, 2)\)

7 Exercice 7

Soit \(ABC\) un triangle.

1)

Construire \(G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, -1); (C, 3)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(s = 1 + (-1) + 3 = 3 \neq 0\)

Étape 2 : D'après la propriété caractéristique : \(3\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\)

Étape 3 : On pose \(M = B\) : \(3\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BA} + 3\overrightarrow{BC} \iff \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\)

Construction

\(G\) est construit à partir de \(B\) avec \(\overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\).

Construction de G = Bar{(A,1);(B,-1);(C,3)}

2)

Construire \(G = \text{Bar}\{(A, 4); (B, \frac{1}{2}); (C, -3)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(s = 4 + \frac{1}{2} - 3 = \frac{3}{2} \neq 0\)

Étape 2 : Propriété caractéristique : \(\frac{3}{2}\overrightarrow{MG} = 4\overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}\)

Étape 3 : On pose \(M = C\) : \(\frac{3}{2}\overrightarrow{CG} = 4\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} \iff \overrightarrow{CG} = \frac{8}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\)

Construction

\(G\) est construit à partir de \(C\) avec \(\overrightarrow{CG} = \frac{8}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\).

Construction de G = Bar{(A,4);(B,1/2);(C,-3)}

8 Exercice 8

\(ABC\) un triangle et \(G\) un point tel que : \(2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB}\).

1)

Montrer que \(G\) est le barycentre de \(\{(A, 1); (B, 1); (C, 2)\}\) et construire \(G\).

✅ Solution détaillée

Étape 1 : \(2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB} \iff 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = 0\)

Étape 2 : \(2(\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}) - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = 0\)

Étape 3 : \(2\overrightarrow{AG} + 2\overrightarrow{GC} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = 0\)

Étape 4 : \(-\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = 0\)

Étape 5 : \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = 0\)

Conclusion

\(G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 1); (C, 2)\}\)

\(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Construction de G = Bar{(A,1);(B,1);(C,2)}