Série 6 - Barycentre

Exercices 19 et 20

19 Exercice 19

\(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB = 4\text{ cm}\) et \(I\) le milieu de \([AB]\).

Soit \((E) = \{M \mid \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 4\}\) et \(H = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 3)\}\).
a) Montrer que \(H \in (E)\).
b) Montrer que \(M \in (E) \iff \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\).
c) Déterminer la nature de \((E)\).

✅ Solution détaillée

Étape 1a : \(H = \text{Bar}\{(A,1); (B,3)\}\), donc \(\overrightarrow{AH} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)

Étape 1a : \(I\) milieu de \([AB]\), donc \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Étape 1a : \(\overrightarrow{IH} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AH} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

Étape 1a : \(\overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{4} \times AB^2 = \frac{1}{4} \times 16 = 4\) ✅

Conclusion 1a

\(H \in (E)\)

Étape 1b : \(M \in (E) \iff \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 4\)

Étape 1b : D'après 1a, \(\overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} = 4\)

Étape 1b : \(\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} \iff (\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IH}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)

Étape 1b : \(\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)

Conclusion 1b

\(M \in (E) \iff \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)

Étape 1c : \(\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) signifie que \(HM \perp AB\).

Conclusion 1c

\((E)\) est la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H\).

Soit \((F) = \{M \mid MA^2 - MB^2 = 8\}\).
a) Montrer que : \(MA^2 - MB^2 = 2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}\).
b) En déduire que \((F) = (E)\) et tracer.

✅ Solution détaillée

Étape 2a : \(MA^2 - MB^2 = (\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}) \cdot (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB})\)

Étape 2a : \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)

Étape 2a : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\) (car \(I\) milieu de \([AB]\))

Étape 2a : Donc \(MA^2 - MB^2 = -2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}\)

Conclusion 2a\(MA^2 - MB^2 = 2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}\)

Étape 2b : \(M \in (F) \iff MA^2 - MB^2 = 8 \iff 2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 8\)

Étape 2b : \(\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 4 \iff M \in (E)\)

Conclusion 2b

\((F) = (E)\) est la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H\).

Droite (E) = (F) perpendiculaire à (AB) passant par H

20 Exercice 20

\(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB = 3\text{ cm}\) et \(I\) le milieu de \([AB]\).

Soit \((C) = \{M \mid MA^2 + MB^2 = 9\}\).
a) Montrer que \(M \in (C) \iff MI = \frac{3}{2}\).
b) Déterminer la nature de \((C)\) et tracer.

✅ Solution détaillée

Étape 1a : \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\), \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\)

Étape 1a : \(MA^2 + MB^2 = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2\)

Étape 1a : \(= 2MI^2 + IA^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB})\)

Étape 1a : \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = 0\), \(IA = IB = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2}\)

Étape 1a : \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 2 \times \frac{9}{4} = 2MI^2 + \frac{9}{2}\)

Étape 1a : \(2MI^2 + \frac{9}{2} = 9 \iff 2MI^2 = \frac{9}{2} \iff MI^2 = \frac{9}{4} \iff MI = \frac{3}{2}\)

Conclusion 1a

\(M \in (C) \iff MI = \frac{3}{2}\)

Étape 1b : \(MI = \frac{3}{2}\) signifie que la distance de \(M\) à \(I\) est constante.

Conclusion 1b

\((C)\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(r = \frac{3}{2}\text{ cm}\).

Cercle de centre I et rayon 3/2 cm

Soit \((C') = \{M \mid \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -\frac{5}{4}\}\).
a) Montrer que \(M \in (C') \iff MI = 1\).
b) Déterminer la nature de \((C')\) et tracer.

✅ Solution détaillée

Étape 2a : \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\), \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\)

Étape 2a : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}\)

Étape 2a : \(\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB}\), donc \(\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = -IA^2 = -\frac{9}{4}\)

Étape 2a : \(MI^2 - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4} \iff MI^2 = 1 \iff MI = 1\)

Conclusion 2a

\(M \in (C') \iff MI = 1\)

Étape 2b : \(MI = 1\) signifie que la distance de \(M\) à \(I\) est constante.

Conclusion 2b

\((C')\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(r = 1\text{ cm}\).

Cercle de centre I et rayon 1 cm

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