Série 5 - Barycentre

16 Exercice 16

\(ABC\) un triangle. \(I\) un point tel que : \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). \(K\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(C\). \(J\) le milieu de \([BC]\).

1)

Exprimer \(I\), \(J\), \(K\) comme barycentre de points pondérés.

✅ Solution

Étape 1 : \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \iff 3\overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{AB}\)

Étape 2 : \(3\overrightarrow{AI} = 2(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) \iff \overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = 0\)

Étape 3 : Donc \(I = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2)\}\)

Étape 4 : \(J\) milieu de \([BC]\), donc \(J = \text{Bar}\{(B, 1); (C, 1)\}\)

Étape 5 : \(K\) symétrique de \(A\) par rapport à \(C\), donc \(C\) milieu de \([AK]\)

Étape 6 : \(K = \text{Bar}\{(A, 1); (C, -2)\}\) car \(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC} = 0\)

                                Conclusion
                                \(I = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2)\}\)
\(J = \text{Bar}\{(B, 1); (C, 1)\}\)
\(K = \text{Bar}\{(A, 1); (C, -2)\}\)

                            

2)

Quel est le barycentre des points pondérés \((A;1)\), \((B;2)\), \((B;-2)\), \((C;-2)\) ?

✅ Solution

Étape 1 : Soit \(G = \text{Bar}\{(A,1); (B,2); (B,-2); (C,-2)\}\)

Étape 2 : On regroupe les poids de \(B\) : \(2 + (-2) = 0\) (ils s'annulent)

Étape 3 : Donc \(G = \text{Bar}\{(A,1); (C,-2)\} = K\)

Conclusion

\(G = K\), c'est le point \(K\) (symétrique de \(A\) par rapport à \(C\)).

3)

Montrer que \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés.

✅ Solution

Étape 1 : D'après l'associativité, \(K = \text{Bar}\{(I, 3); (J, -4)\}\)

Étape 2 : En effet, \(I = \text{Bar}\{(A,1); (B,2)\}\) et \(J = \text{Bar}\{(B,1); (C,1)\}\)

Étape 3 : Donc \(K \in (IJ)\), ce qui signifie que \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés.

Conclusion

Les points \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés.

I, J, K sont alignés

17 Exercice 17

\(ABCD\) un carré. \(I\) et \(J\) les milieux respectifs de \([BC]\) et \([CD]\). \(M\) et \(N\) tels que : \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}\).

1)

Déterminer le barycentre de \(\{(A, 3); (B, 1)\}\) et de \(\{(A, 3); (D, 1)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \iff 4\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}\)

Étape 2 : \(3\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} \iff 3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 0\)

Étape 3 : Donc \(M = \text{Bar}\{(A, 3); (B, 1)\}\)

Étape 4 : De même, \(N = \text{Bar}\{(A, 3); (D, 1)\}\)

                                Conclusion
                                \(M = \text{Bar}\{(A, 3); (B, 1)\}\)
\(N = \text{Bar}\{(A, 3); (D, 1)\}\)

                            

2)

Soit \(G = \text{Bar}\{(A, 3); (B, 1); (C, 1); (D, 1)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(J\) milieu de \([DC]\), donc \(J = \text{Bar}\{(C,1); (D,1)\}\)

Étape 2 : D'après l'associativité, \(G = \text{Bar}\{(A,3); (B,1); (J,2)\}\)

Étape 3 : Or \(M = \text{Bar}\{(A,3); (B,1)\}\), donc \(G = \text{Bar}\{(M,4); (J,2)\}\)

Étape 4 : En divisant par 2 : \(G = \text{Bar}\{(M,2); (J,1)\}\)

Étape 5 : Donc \(G \in (MJ)\)

Étape 6 : De même, \(I\) milieu de \([BC]\), donc \(G \in (NI)\)

Étape 7 : Et \(G \in (AC)\) (car centre de gravité du quadrilatère)

Conclusion

Les droites \((MJ)\), \((NI)\), \((AC)\) sont concourantes en \(G\).

Concourance des droites (MJ), (NI), (AC)

18 Exercice 18

\(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB=4\text{ cm}\). Soit \((F) = \{M \mid \frac{MA}{MB} = 3\}\).

1)

Montrer que \(M \in (F) \iff MA^2 - 9MB^2 = 0\).

✅ Solution

Étape 1 : \(\frac{MA}{MB} = 3 \iff MA = 3MB\) (car \(MA, MB > 0\))

Étape 2 : En élevant au carré : \(MA^2 = 9MB^2 \iff MA^2 - 9MB^2 = 0\)

Conclusion

\(M \in (F) \iff MA^2 - 9MB^2 = 0\)

2)

Soit \(G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 3)\}\) et \(K = \text{Bar}\{(A, 1); (B, -3)\}\).
a) Montrer que \(M \in (F) \iff \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0\).
b) En déduire l'ensemble \((F)\) et le tracer.

✅ Solution

Étape 2a : \(MA^2 - 9MB^2 = (\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB}) \cdot (\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB})\)

Étape 2a : D'après la propriété caractéristique :

Étape 2a : \(\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{MG}\)

Étape 2a : \(\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MK}\)

Étape 2a : Donc \(MA^2 - 9MB^2 = -8\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0\)

Étape 2a : D'où \(\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0\)

Étape 2b : \(\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0\) signifie que \(MG \perp MK\)

Étape 2b : Donc \(M\) est sur le cercle de diamètre \([GK]\).

Conclusion

\((F)\) est le cercle de diamètre \([GK]\).

On a : \(AG = \frac{3}{4}AB = 3\text{ cm}\), \(AK = \frac{-3}{-2}AB = 6\text{ cm}\)

Cercle de diamètre [GK]