Série 3 - Généralités sur les fonctions

11 Comparaison de fonctions

Soit f et g définies par : $f(x) = x + 1$ et $g(x) = x^2 + x + 2$

1)

Comparer les fonctions f et g

✅ Solution

Étape 1 : $g(x) - f(x) = (x^2 + x + 2) - (x + 1) = x^2 + 1$

Étape 2 : $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Conclusion : $g(x) > f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $g$ est strictement supérieure à $f$.

12 Comparaison de fonctions

Soit f et g définies par : $f(x) = x$ et $g(x) = \dfrac{1}{x}$

1)

Comparer les fonctions f et g

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) - g(x) = x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2 - 1}{x} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x}$

Étape 2 : Tableau de signe :

$x$	$-\infty$	$-1$		$0$		$1$	$+\infty$
$x-1$	−	−	−	−	−	0	+
$x+1$	−	0	+	+	+	+	+
$x$	−	−	−	0	+	+	+
$f-g$	−	0	+	\|\|	−	0	+

Conclusion :

$f(x) < g(x)$ sur $]-\infty, -1[ \cup ]0, 1[$
$f(x) = g(x)$ pour $x = -1$ et $x = 1$
$f(x) > g(x)$ sur $]-1, 0[ \cup ]1, +\infty[$

13 Comparaison de fonctions

Soit f et g définies par : $f(x) = \dfrac{3x^2+1}{\sqrt{x^2}}$ et $g(x) = \dfrac{1+3x^2}{|x|}$

1)

Comparer les fonctions f et g

✅ Solution

Étape 1 : Pour $x \neq 0$, $\sqrt{x^2} = |x|$

Étape 2 : $f(x) = \dfrac{3x^2+1}{|x|}$ et $g(x) = \dfrac{1+3x^2}{|x|}$

Étape 3 : Les deux expressions sont identiques.

Conclusion : $f = g$ sur $\mathbb{R}^*$.

14 Comparaison de fonctions

Soit h et t définies par : $h(x) = \dfrac{x^2-x}{x}$ et $t(x) = x-1$

1)

Comparer les fonctions h et t

✅ Solution

Étape 1 : $h(x) = \dfrac{x^2-x}{x} = \dfrac{x(x-1)}{x}$

Étape 2 : Pour $x \neq 0$, $h(x) = x-1 = t(x)$

Étape 3 : Mais $D_h = \mathbb{R}^*$ et $D_t = \mathbb{R}$

Conclusion : $h = t$ sur $\mathbb{R}^*$, mais elles ne sont pas égales car leurs domaines de définition sont différents.

15 Signe d'une fonction

Soit f définie par : $f(x) = \dfrac{(3x+1)(2-x)}{4x^2-1}$

1)

Étudier le signe de f

✅ Solution

Étape 1 : $4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$

Étape 2 : Points critiques : $x = -\dfrac{1}{3}$, $x = 2$, $x = -\dfrac{1}{2}$, $x = \dfrac{1}{2}$

Étape 3 : Tableau de signe :

$x$	$-\infty$	$-\frac{1}{2}$		$-\frac{1}{3}$		$\frac{1}{2}$		$2$	$+\infty$
$3x+1$	−	−	−	0	+	+	+	+	+
$2-x$	+	+	+	+	+	+	+	0	−
$4x^2-1$	+	0	−	−	−	0	+	+	+
$f(x)$	−	\|\|	+	0	−	\|\|	+	0	−

Conclusion :

$f(x) > 0$ sur $]-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{3}[ \cup ]2, +\infty[$
$f(x) < 0$ sur $]-\infty, -\dfrac{1}{2}[ \cup ]-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}[ \cup ]\dfrac{1}{2}, 2[$

16 Fonction majorée

Soit f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = -x^2 + x$

1)

Démontrer que f est majorée sur $\mathbb{R}$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = -x^2 + x = -(x^2 - x) = -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4}$

Étape 2 : $-\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 \le 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Étape 3 : $f(x) \le \dfrac{1}{4}$

Conclusion : $f$ est majorée par $M = \dfrac{1}{4}$.

17 Fonction bornée

Montrer que $g(x) = 4\sin x - 3$ est bornée.

1)

Montrer que g est bornée

✅ Solution

Étape 1 : $-1 \le \sin x \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Étape 2 : $-4 \le 4\sin x \le 4$

Étape 3 : $-7 \le 4\sin x - 3 \le 1$

Conclusion : $-7 \le g(x) \le 1$ donc $g$ est bornée.

18 Fonction majorée et minorée

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

$x^2+1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Conclusion : $D_f = \mathbb{R}$

2)

Démontrer que f est majorée sur $\mathbb{R}$

✅ Solution

Étape 1 : $x^2+1 \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x^2+1} \le 1$

Conclusion : $f$ est majorée par $M = 1$.

3)

Démontrer que f est minorée sur $\mathbb{R}$ et conclure

✅ Solution

Étape 1 : $x^2+1 > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x^2+1} > 0$

Conclusion :

$f$ est minorée par $m = 0$
$f$ est majorée par $M = 1$
Donc $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

19 Fonction minorée et majorée

Soit $f(x) = \dfrac{2x^2+7x+7}{x^2+3x+3}$

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

Étape 1 : $x^2+3x+3 = \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R}$

2)

Démontrer que f est minorée par 1

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) - 1 = \dfrac{2x^2+7x+7 - (x^2+3x+3)}{x^2+3x+3} = \dfrac{x^2+4x+4}{x^2+3x+3} = \dfrac{(x+2)^2}{x^2+3x+3}$

Étape 2 : $(x+2)^2 \ge 0$ et $x^2+3x+3 > 0$

Conclusion : $f(x) - 1 \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge 1$.

3)

Démontrer que f est majorée par $\dfrac{7}{3}$ et conclure

✅ Solution

Étape 1 : $\dfrac{7}{3} - f(x) = \dfrac{7(x^2+3x+3) - 3(2x^2+7x+7)}{3(x^2+3x+3)}$

Étape 2 : $= \dfrac{7x^2+21x+21 - 6x^2 - 21x - 21}{3(x^2+3x+3)} = \dfrac{x^2}{3(x^2+3x+3)} \ge 0$

Conclusion : $f(x) \le \dfrac{7}{3}$ donc $f$ est bornée par $1$ et $\dfrac{7}{3}$.

20 Domaine de définition et égalité

Soit $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2+x+m}$ avec $m \in \mathbb{R}$

1)

Déterminer les valeurs de m pour que $D_f = \mathbb{R}$

✅ Solution

Étape 1 : Il faut que $x^2+x+m \neq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Étape 2 : Le discriminant $\Delta = 1 - 4m < 0 \iff m > \dfrac{1}{4}$

Conclusion : $D_f = \mathbb{R} \iff m > \dfrac{1}{4}$

2)

Soit $g(x) = \dfrac{1}{x+2}$. Déterminer les valeurs de m pour que $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in \{-2; 1\}$

✅ Solution

Pour x = 1 : $f(1) = \dfrac{0}{1+1+m} = 0$ et $g(1) = \dfrac{1}{3}$
$0 = \dfrac{1}{3}$ impossible ❌

Conclusion : Aucune valeur de $m$ ne permet d'avoir $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in \{-2; 1\}$.