Série 4 - Généralités sur les fonctions

21 Minimum absolu

Soit $f(x) = 5x^2 + 3$

1)

Montrer que f admet un minimum absolu sur ℝ et le déterminer

✅ Solution

Étape 1 : $5x^2 \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Étape 2 : $5x^2 + 3 \ge 3$

Étape 3 : $f(0) = 3$

Conclusion : Le minimum absolu est $m = 3$ atteint en $x = 0$.

22 Maximum absolu

Soit $g(x) = -4x^2 + 1$

1)

Montrer que g admet un maximum absolu sur ℝ et le déterminer

✅ Solution

Étape 1 : $-4x^2 \le 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Étape 2 : $-4x^2 + 1 \le 1$

Étape 3 : $g(0) = 1$

Conclusion : Le maximum absolu est $M = 1$ atteint en $x = 0$.

23 Extremums

Soit $f(x) = -4x^2 + 4x + 5$

1a)

Montrer que $f(x) = 6 - (2x-1)^2$

✅ Solution

Étape 1 : $6 - (2x-1)^2 = 6 - (4x^2 - 4x + 1) = 6 - 4x^2 + 4x - 1 = -4x^2 + 4x + 5 = f(x)$

Conclusion : $f(x) = 6 - (2x-1)^2$ ✅

1b)

Montrer que $f(x) \le 6$

✅ Solution

Étape 1 : $(2x-1)^2 \ge 0 \Rightarrow -(2x-1)^2 \le 0$

Étape 2 : $6 - (2x-1)^2 \le 6$

Conclusion : $f(x) \le 6$ ✅

2)

Calculer $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et en déduire les extremums de f sur ℝ

✅ Solution

Étape 1 : $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6 - (2 \times \dfrac{1}{2} - 1)^2 = 6 - 0 = 6$

Étape 2 : On a $f(x) \le 6$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6$

Conclusion : Le maximum absolu est $M = 6$ atteint en $x = \dfrac{1}{2}$.

24 Extremums à partir du tableau de variation

D'après le tableau de variation ci-dessous, déduire les extremums de f.

$x$	$-\infty$	$-2$		$3$	$+\infty$
$f(x)$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$	$5$	$\searrow$

1)

Déduire les extremums de f

✅ Solution

Étape 1 : La fonction est décroissante sur $]-\infty, -2]$, croissante sur $[-2, 3]$ et décroissante sur $[3, +\infty[$.

Étape 2 : $f(-2) = 1$ est un minimum local.

Étape 3 : $f(3) = 5$ est un maximum local.

Conclusion :

Minimum local : $m = 1$ en $x = -2$
Maximum local : $M = 5$ en $x = 3$

25 Maximum absolu

Soit $f(x) = -x^2 + 4x - 3$

1)

Montrer que 1 est le maximum absolu de f sur ℝ

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x-2)^2 + 1$

Étape 2 : $-(x-2)^2 \le 0 \Rightarrow f(x) \le 1$

Étape 3 : $f(2) = 1$

Conclusion : Le maximum absolu est $M = 1$ atteint en $x = 2$.

26 Fonction majorée et minorée

Soit $f(x) = \dfrac{2x^2+3}{x^2+1}$

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

$x^2+1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Conclusion : $D_f = \mathbb{R}$

2a)

Démontrer que f est majorée par 3

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) - 3 = \dfrac{2x^2+3 - 3(x^2+1)}{x^2+1} = \dfrac{2x^2+3 - 3x^2 - 3}{x^2+1} = \dfrac{-x^2}{x^2+1} \le 0$

Conclusion : $f(x) \le 3$, donc f est majorée par 3.

2b)

Est-ce que 3 est une valeur maximale de f ?

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = 3 \iff -x^2 = 0 \iff x = 0$

Étape 2 : $f(0) = \dfrac{3}{1} = 3$

Conclusion : Oui, 3 est une valeur maximale atteinte en $x = 0$.

3a)

Démontrer que f est minorée par 2

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) - 2 = \dfrac{2x^2+3 - 2(x^2+1)}{x^2+1} = \dfrac{2x^2+3 - 2x^2 - 2}{x^2+1} = \dfrac{1}{x^2+1} > 0$

Conclusion : $f(x) > 2$, donc f est minorée par 2.

3b)

Est-ce que 2 est une valeur minimale de f ?

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = 2 \iff \dfrac{1}{x^2+1} = 0$ impossible.

Conclusion : Non, 2 n'est pas une valeur minimale car elle n'est jamais atteinte.

27 Signe et majoration

Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1} - \sqrt{2}}{x-1}$ définie sur $]1; +\infty[$

1)

Étudier le signe de f

✅ Solution

Étape 1 : Pour $x > 1$, $x-1 > 0$

Étape 2 : $\sqrt{x+1} - \sqrt{2} > 0 \iff \sqrt{x+1} > \sqrt{2} \iff x+1 > 2 \iff x > 1$

Conclusion : $f(x) > 0$ pour tout $x \in ]1; +\infty[$.

2a)

Démontrer que f est majorée par $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

✅ Solution

Étape 1 : $\sqrt{x+1} - \sqrt{2} = \dfrac{(x+1)-2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}$

Étape 2 : $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}$

Étape 3 : $\sqrt{x+1}+\sqrt{2} > \sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Cette méthode ne donne pas le résultat souhaité.

Méthode correcte :

Étape 1 : $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}$

Étape 2 : Pour $x > 1$, $\sqrt{x+1}+\sqrt{2} > \sqrt{2} \Rightarrow f(x) < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.353$ et $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$, donc $f(x)$ n'est pas majorée par $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.

Conclusion : L'énoncé contient une erreur, la majoration par $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ est fausse.

28 Minorée et majorée

Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}$

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

Étape 1 : $x-2 \ge 0 \iff x \ge 2$

Étape 2 : $x+2 > 0$ pour $x \ge 2$

Conclusion : $D_f = [2, +\infty[$

2)

Démontrer que -1 est la valeur minimale de f

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) + 1 = \dfrac{\sqrt{x-2} + \sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}} > 0$

Étape 2 : $f(x) > -1$

Étape 3 : $f(2) = \dfrac{0}{\sqrt{4}} = 0 > -1$

$-1$ n'est pas atteint, donc $-1$ n'est pas une valeur minimale.

Conclusion : L'énoncé contient une erreur, la valeur minimale est $0$ atteinte en $x = 2$.

3)

Démontrer que f est majorée par 1

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) - 1 = \dfrac{\sqrt{x-2} - \sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}} < 0$

Étape 2 : $f(x) < 1$

Conclusion : $f$ est majorée par 1, mais 1 n'est pas une valeur maximale car elle n'est jamais atteinte.

29 Variations et tableau de variation

Soit $f(x) = 2x^2 - 4x - 2$

1)

Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = 2(x^2 - 2x) - 2 = 2(x-1)^2 - 4$

Étape 2 : $f'(x) = 4x - 4 = 4(x-1)$

Étape 3 : Tableau de variation :

$x$	$-\infty$	$1$	$+\infty$
$f'(x)$	−	$0$	+
$f(x)$	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$

Conclusion : $f$ est décroissante sur $]-\infty, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$.

Minimum absolu : $-4$ en $x = 1$

30 Variations et tableau de variation

Soit $g(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

1)

Étudier les variations de g et dresser le tableau de variation

✅ Solution

Étape 1 : $g(x) = -\dfrac{1}{2}(x^2 - 4x) + 1 = -\dfrac{1}{2}(x-2)^2 + 3$

Étape 2 : $g'(x) = -x + 2 = -(x-2)$

Étape 3 : Tableau de variation :

$x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
$g'(x)$	+	$0$	−
$g(x)$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$

Conclusion : $g$ est croissante sur $]-\infty, 2]$ et décroissante sur $[2, +\infty[$.

Maximum absolu : $3$ en $x = 2$