Série 5 - Généralités sur les fonctions

31 Variations et représentation graphique

Soit $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$

1)

Étudier les variations de f et tracer sa courbe $(C_f)$

✅ Solution

Étape 1 : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

Étape 2 : $f'(x) = \dfrac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0$

Étape 3 : Tableau de variation :

$x$	$-\infty$	$1$	$+\infty$
$f'(x)$	−	\|\|	−
$f(x)$	$\searrow$	\|\|	$\searrow$

Conclusion : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,1[$ et sur $]1,+\infty[$.

$f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$

32 Variations et représentation graphique

Soit $g(x) = \dfrac{-x}{x-2}$

1)

Dresser le tableau de variation et tracer $(C_g)$

✅ Solution

Étape 1 : $D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

Étape 2 : $g'(x) = \dfrac{-1(x-2) - (-x)}{(x-2)^2} = \dfrac{-x+2+x}{(x-2)^2} = \dfrac{2}{(x-2)^2} > 0$

Étape 3 : Tableau de variation :

$x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
$g'(x)$	+	\|\|	+
$g(x)$	$\nearrow$	\|\|	$\nearrow$

Conclusion : $g$ est strictement croissante sur $]-\infty,2[$ et sur $]2,+\infty[$.

$g(x) = \dfrac{-x}{x-2}$

33 Variations de $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3$

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

$f(x) = \dfrac{1}{4}x^3$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Conclusion : $D_f = \mathbb{R}$

2)

Étudier les variations et dresser le tableau de variation

✅ Solution

Étape 1 : $f'(x) = \dfrac{3}{4}x^2 \ge 0$

Étape 2 : Tableau de variation :

$x$	$-\infty$	$0$	$+\infty$
$f'(x)$	+	$0$	+
$f(x)$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

$f(x) = \dfrac{1}{4}x^3$

34 Variations de $f(x) = \sqrt{x+2}$

1)

Déterminer $D_f$

✅ Solution

Étape 1 : $x+2 \ge 0 \iff x \ge -2$

Conclusion : $D_f = [-2, +\infty[$

2)

Étudier les variations et dresser le tableau de variation

✅ Solution

Étape 1 : $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} > 0$ pour $x > -2$

Étape 2 : Tableau de variation :

$x$	$-2$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $[-2, +\infty[$.

$f(x) = \sqrt{x+2}$

35 Composée de fonctions

Soit $f(x) = x^2 - 2x + 3$ et $g(x) = 2x + 1$

1)

Déterminer $g \circ f$ et $f \circ g$

✅ Solution

Étape 1 : $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2(x^2 - 2x + 3) + 1 = 2x^2 - 4x + 6 + 1 = 2x^2 - 4x + 7$

Étape 2 : $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (2x+1)^2 - 2(2x+1) + 3 = 4x^2 + 4x + 1 - 4x - 2 + 3 = 4x^2 + 2$

Conclusion :

$(g \circ f)(x) = 2x^2 - 4x + 7$
$(f \circ g)(x) = 4x^2 + 2$

36 Composée de fonctions

Soit $f(x) = \dfrac{3x+4}{x+1}$ et $g(x) = \dfrac{1}{x+1}$

1)

Déterminer $D_{g \circ f}$

✅ Solution

Étape 1 : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$

Étape 2 : $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$

Étape 3 : $f(x) \neq -1 \iff \dfrac{3x+4}{x+1} \neq -1 \iff 3x+4 \neq -x-1 \iff 4x \neq -5 \iff x \neq -\dfrac{5}{4}$

Conclusion : $D_{g \circ f} = \mathbb{R} \setminus \left\{-1, -\dfrac{5}{4}\right\}$

2)

Déterminer $(g \circ f)(x)$

✅ Solution

Étape 1 : $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \dfrac{1}{f(x)+1} = \dfrac{1}{\dfrac{3x+4}{x+1} + 1} = \dfrac{1}{\dfrac{3x+4+x+1}{x+1}} = \dfrac{x+1}{4x+5}$

Conclusion : $(g \circ f)(x) = \dfrac{x+1}{4x+5}$ pour $x \neq -1, -\dfrac{5}{4}$

37 Composée et égalité de fonctions

Soit $f(x) = \dfrac{x+3}{x+1}$ et $g(x) = \dfrac{x}{x+2}$

1)

Déterminer $D_h$ où $h = g \circ f$

✅ Solution

Étape 1 : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$

Étape 2 : $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$

Étape 3 : $f(x) \neq -2 \iff \dfrac{x+3}{x+1} \neq -2 \iff x+3 \neq -2x-2 \iff 3x \neq -5 \iff x \neq -\dfrac{5}{3}$

Conclusion : $D_h = \mathbb{R} \setminus \left\{-1, -\dfrac{5}{3}\right\}$

2)

Déterminer $h(x)$

✅ Solution

Étape 1 : $h(x) = g(f(x)) = \dfrac{f(x)}{f(x)+2} = \dfrac{\dfrac{x+3}{x+1}}{\dfrac{x+3}{x+1} + 2} = \dfrac{\dfrac{x+3}{x+1}}{\dfrac{x+3+2x+2}{x+1}} = \dfrac{x+3}{3x+5}$

Conclusion : $h(x) = \dfrac{x+3}{3x+5}$

3)

Les fonctions h et $k(x) = \dfrac{x+3}{3x+5}$ sont-elles égales ?

✅ Solution

Étape 1 : $h(x) = \dfrac{x+3}{3x+5}$ et $k(x) = \dfrac{x+3}{3x+5}$

Étape 2 : $D_h = \mathbb{R} \setminus \left\{-1, -\dfrac{5}{3}\right\}$ et $D_k = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{5}{3}\right\}$

Conclusion : Les domaines de définition sont différents, donc $h \neq k$.

38 Décomposition en fonctions élémentaires

Exprimer les fonctions suivantes à l'aide de fonctions élémentaires :

1)

$h_1(x) = \dfrac{1}{3x-1}$

✅ Solution

$h_1 = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = \dfrac{1}{x} \\ v(x) = 3x-1 \end{cases}$

Conclusion : $h_1 = u \circ v$

2)

$h_2(x) = \sqrt{x+3}$

✅ Solution

$h_2 = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = \sqrt{x} \\ v(x) = x+3 \end{cases}$

Conclusion : $h_2 = u \circ v$

3)

$h_3(x) = 3\sqrt{x} + 4$

✅ Solution

$h_3 = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = 3x + 4 \\ v(x) = \sqrt{x} \end{cases}$

Conclusion : $h_3 = u \circ v$

39 Décomposition et variations

Soit $f(x) = -5x^2 + 7$ définie sur $[0; +\infty[$

1)

Décomposer f en fonctions élémentaires et étudier ses variations

✅ Solution

Étape 1 : $f = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = -5x + 7 \\ v(x) = x^2 \end{cases}$

Étape 2 : $v(x) = x^2$ est croissante sur $[0; +\infty[$

Étape 3 : $u(x) = -5x + 7$ est décroissante sur $\mathbb{R}$

Étape 4 : $f = u \circ v$ (monotonies opposées) est décroissante sur $[0; +\infty[$

Conclusion : $f$ est strictement décroissante sur $[0; +\infty[$.

40 Décomposition et variations

Soit $h(x) = \sqrt{1-x}$ définie sur $]-\infty; 1]$

1)

Décomposer h en deux fonctions élémentaires

✅ Solution

$h = u \circ v$ avec $\begin{cases} u(x) = \sqrt{x} \\ v(x) = 1-x \end{cases}$

Conclusion : $h = u \circ v$

2)

Déterminer les variations de h

✅ Solution

Étape 1 : $v(x) = 1-x$ est décroissante sur $]-\infty; 1]$

Étape 2 : $u(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0; +\infty[$

Étape 3 : $h = u \circ v$ (monotonies opposées) est décroissante

Conclusion : $h$ est strictement décroissante sur $]-\infty; 1]$.

$h(x) = \sqrt{1-x}$