✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
Retour aux séries

Série 1 - Logique mathématique

Exercices 1 à 10

1 Exercice 1

Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :

1)
$P: \forall x \in \mathbb{R} / x^2 > 0$
✅ Solution

Négation : $\exists x \in \mathbb{R} / x^2 \leq 0$

Valeur : Faux (car $x=0$ donne $0^2=0$)

2)
$P: \exists x \in \mathbb{R} / x^2 - 2 = 0$
✅ Solution

Négation : $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - 2 \neq 0$

Valeur : Vrai (car $x = \sqrt{2}$ ou $x = -\sqrt{2}$)

3)
$P: x \in [1; 2[$
✅ Solution

Négation : $x \notin [1; 2[$ c'est-à-dire $x < 1$ ou $x \geq 2$

Valeur : dépend de $x$

4)
$P: \forall n \in \mathbb{N}, n^2 \in \mathbb{N}$
✅ Solution

Négation : $\exists n \in \mathbb{N}, n^2 \notin \mathbb{N}$

Valeur : Vrai (le carré d'un entier naturel est un entier naturel)

5)
$P: (\forall x \in \mathbb{R}); -1 \leq \cos x \leq 1$
✅ Solution

Négation : $\exists x \in \mathbb{R}; \cos x < -1$ ou $\cos x > 1$

Valeur : Vrai (propriété de la fonction cosinus)

6)
$P: (\forall n \in \mathbb{N}); (\exists m \in \mathbb{N}): n < m$
✅ Solution

Négation : $\exists n \in \mathbb{N}; (\forall m \in \mathbb{N}): n \geq m$

Valeur : Vrai (pour tout $n$, on peut prendre $m = n+1$)

7)
$P: (\exists n \in \mathbb{N})$ tel que $2n+1$ est pair
✅ Solution

Négation : $(\forall n \in \mathbb{N}), 2n+1$ est impair

Valeur : Faux ($2n+1$ est toujours impair)

8)
$P: (\forall n \in \mathbb{N}); \sqrt{n} \in \mathbb{N}$
✅ Solution

Négation : $\exists n \in \mathbb{N}; \sqrt{n} \notin \mathbb{N}$

Valeur : Faux (contre-exemple: $n=2$)

9)
$P: (\forall x \in \mathbb{R}); (\exists y \in \mathbb{R}): y - x > 0$
✅ Solution

Négation : $\exists x \in \mathbb{R}; (\forall y \in \mathbb{R}): y - x \leq 0$

Valeur : Vrai (pour tout $x$, prendre $y = x+1$)

10)
$P: (\exists! x \in \mathbb{R}); 2x + 4 = 0$
✅ Solution

Négation : $(\forall x \in \mathbb{R}), 2x+4 \neq 0$ ou il existe au moins deux solutions

Valeur : Vrai (l'unique solution est $x = -2$)

2 Exercice 2

Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes :

1.

Le carré de tout réel est positif.

✅ Solution
$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$
2.

Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.

✅ Solution
$\exists x \in \mathbb{R}, x > x^2$
3.

Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.

✅ Solution
$\forall n \in \mathbb{Z}, \exists m \in \mathbb{Z}, m > n$
4.

Tous les réels ne sont pas des quotients d'entiers.

✅ Solution
$\exists x \in \mathbb{R}, \forall a,b \in \mathbb{Z}, x \neq \frac{a}{b}$
5.

Il existe un entier multiple de tous les autres.

✅ Solution
$\exists n \in \mathbb{Z}, \forall m \in \mathbb{Z}, m \mid n$

($m \mid n$ signifie $m$ divise $n$)

6.

Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.

✅ Solution
$\forall x,y \in \mathbb{R}, x < y \Rightarrow \exists q \in \mathbb{Q}, x < q < y$

3 Exercice 3

$x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$

Montrer que : $0 \leq x < 2$ et $0 \leq y < 2 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 1$
✅ Solution
Étape 1 : $0 < x < 2 \Rightarrow \frac{1}{x} > \frac{1}{2}$
Étape 2 : $0 < y < 2 \Rightarrow \frac{1}{y} > \frac{1}{2}$
Étape 3 : $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Conclusion : $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 1$

4 Exercice 4

$x \in \mathbb{R}^+$

Montrer que : $\frac{1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \sqrt{x} \Rightarrow x = 0$
✅ Solution
Étape 1 : $\frac{1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \sqrt{x}$
Étape 2 : $1 = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}) = 1 - x$
Étape 3 : $1 = 1 - x \Rightarrow x = 0$

Conclusion : $x = 0$

5 Exercice 5

1)
$(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) : a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a = 0$ et $b = 0$
✅ Solution
Étape 1 : $a^2 \geq 0$ et $b^2 \geq 0$
Étape 2 : $a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 0$ et $b^2 = 0$
Étape 3 : $a = 0$ et $b = 0$

Conclusion : $a = 0$ et $b = 0$

2)

$x \in \mathbb{R}^+$ et $y \in \mathbb{R}^+$

$x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} \Rightarrow x = y = 1$
✅ Solution
Étape 1 : $x - 2\sqrt{x} + 1 + y - 2\sqrt{y} + 1 = 0$
Étape 2 : $(\sqrt{x} - 1)^2 + (\sqrt{y} - 1)^2 = 0$
Étape 3 : $\sqrt{x} = 1$ et $\sqrt{y} = 1$
Étape 4 : $x = 1$ et $y = 1$

Conclusion : $x = y = 1$

6 Exercice 6

$(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) : a^2 + b^2 = 1 \Rightarrow |a+b| \leq \sqrt{2}$
✅ Solution
Étape 1 : $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 1 + 2ab$
Étape 2 : $2ab \leq a^2 + b^2 = 1$ (car $(a-b)^2 \geq 0$)
Étape 3 : $(a+b)^2 \leq 1 + 1 = 2$
Étape 4 : $|a+b| \leq \sqrt{2}$

Conclusion : $|a+b| \leq \sqrt{2}$

7 Exercice 7

Montrer que si $a \in \mathbb{Q}$ et $b \in \mathbb{Q}$ alors $a+b \in \mathbb{Q}$
✅ Solution
Étape 1 : $a = \frac{p}{q}$ avec $p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$
Étape 2 : $b = \frac{r}{s}$ avec $r,s \in \mathbb{Z}, s \neq 0$
Étape 3 : $a+b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + rq}{qs}$
Étape 4 : $ps + rq \in \mathbb{Z}$ et $qs \in \mathbb{Z}^*$

Conclusion : $a+b \in \mathbb{Q}$

8 Exercice 8

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R} - \left\{-\frac{1}{2}\right\}$ par :

$f(x) = \frac{x+2}{2x+1}$

Montrer que :

$|x-1| < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{4}|x-1| \leq |f(x) - f(1)| \leq \frac{1}{2}|x-1|$
✅ Solution
Étape 1 : $f(x) - f(1) = \frac{x+2}{2x+1} - 1 = \frac{x+2 - (2x+1)}{2x+1} = \frac{1-x}{2x+1}$
Étape 2 : $|f(x) - f(1)| = \frac{|x-1|}{|2x+1|}$
Étape 3 : Si $|x-1| < \frac{1}{2}$, alors $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$
Étape 4 : $2 < 2x+1 < 4$, donc $\frac{1}{4} < \frac{1}{|2x+1|} < \frac{1}{2}$

Conclusion : $\frac{1}{4}|x-1| \leq |f(x) - f(1)| \leq \frac{1}{2}|x-1|$

9 Exercice 9

Montrer que : $n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{n+1}{n+2} \in \mathbb{N}$
✅ Solution

⚠️ Cette proposition est fausse !

Contre-exemple : $n = 1$
Vérification : $\frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3} \notin \mathbb{N}$

Conclusion : La proposition est fausse

10 Exercice 10

$\forall x \in [-2; 2] : 2\sqrt{2} > \sqrt{4 - x^2}$
✅ Solution
Étape 1 : $x \in [-2; 2] \Rightarrow x^2 \in [0; 4]$
Étape 2 : $4 - x^2 \in [0; 4]$
Étape 3 : $\sqrt{4 - x^2} \leq 2$
Étape 4 : $2\sqrt{2} \approx 2.828 > 2$

Conclusion : $2\sqrt{2} > \sqrt{4 - x^2}$

Retour Série 2