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Série 2 - Logique mathématique

Exercices 11 à 20

11 Exercice 11

$\forall x \in \mathbb{R} : |x-1| \leq x^2 - x + 1$
✅ Solution
Étape 1 : $x^2 - x + 1 - |x-1|$
Cas 1 : $x \geq 1$
Étape 2 : $x^2 - x + 1 - (x-1) = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \geq 0$
Cas 2 : $x < 1$
Étape 3 : $x^2 - x + 1 - (1-x) = x^2 \geq 0$

Conclusion : $|x-1| \leq x^2 - x + 1$

12 Exercice 12

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$1 - \frac{x}{4} > \frac{1}{\sqrt{1+x}}$
✅ Solution
Domaine : $x > -1$
Étape 1 : $1 - \frac{x}{4} > \frac{1}{\sqrt{1+x}}$
Étape 2 : $1 - \frac{x}{4} - \frac{1}{\sqrt{1+x}} > 0$

(Résolution numérique ou graphique nécessaire)

Solution : $x \in ]-1; 0[ \cup ]0; 4[$

13 Exercice 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$|x-1| + 2x - 3 \geq 0$
✅ Solution
Cas 1 : $x \geq 1$
Étape 1 : $(x-1) + 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow 3x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{4}{3}$
Solution 1 : $x \in [\frac{4}{3}; +\infty[$
Cas 2 : $x < 1$
Étape 2 : $-(x-1) + 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$
Solution 2 : $x \in \emptyset$ (car $x < 1$ et $x \geq 2$)

Conclusion : $S = [\frac{4}{3}; +\infty[$

14 Exercice 14

$\forall x \in \mathbb{R} : \sqrt{x^2 + 1} + x > 0$
✅ Solution
Cas 1 : $x \geq 0$
Étape 1 : $\sqrt{x^2+1} > 0$ et $x \geq 0$, donc $\sqrt{x^2+1} + x > 0$
Cas 2 : $x < 0$
Étape 2 : $\sqrt{x^2+1} > -x$ (car $x^2+1 > x^2$)
Étape 3 : Donc $\sqrt{x^2+1} + x > 0$

Conclusion : $\sqrt{x^2+1} + x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

15 Exercice 15

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

$x^2 - |x - 2| + 5 = 0$
✅ Solution
Cas 1 : $x \geq 2$
Étape 1 : $x^2 - (x-2) + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - x + 7 = 0$
Étape 2 : $\Delta = 1 - 28 = -27 < 0$, pas de solution
Cas 2 : $x < 2$
Étape 3 : $x^2 - (2-x) + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + x + 3 = 0$
Étape 4 : $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$, pas de solution

Conclusion : Pas de solution dans $\mathbb{R}$

16 Exercice 16

$n(n+1)(n+2)$ est un multiple de 3 pour tout $n \in \mathbb{N}$
✅ Solution
Étape 1 : Parmi trois entiers consécutifs $n, n+1, n+2$, l'un est divisible par 3
Étape 2 : Donc le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 3

Conclusion : $n(n+1)(n+2)$ est multiple de 3

17 Exercice 17

$x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$

$x \neq 2$ et $y \neq 2 \Rightarrow 2x + 2y - xy - 2 \neq 2$
✅ Solution
Étape 1 : $2x + 2y - xy - 2 = 2 \Rightarrow 2x + 2y - xy - 4 = 0$
Étape 2 : $-xy + 2x + 2y - 4 = 0$
Étape 3 : $(x-2)(y-2) = 0$
Étape 4 : $x = 2$ ou $y = 2$, contradiction

Conclusion : La proposition est vraie

18 Exercice 18

$x \in \mathbb{R}$ et $x \neq -5$

$x \neq -8 \Rightarrow \frac{x+2}{x+5} \neq 2$
✅ Solution
Par contraposée : $\frac{x+2}{x+5} = 2 \Rightarrow x = -8$
Étape 1 : $x+2 = 2(x+5) \Rightarrow x+2 = 2x+10$
Étape 2 : $-x = 8 \Rightarrow x = -8$

Conclusion : La proposition est vraie

19 Exercice 19

$n \in \mathbb{N}$

Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair
✅ Solution
Par contraposée : Si $n$ est impair alors $n^2$ est impair
Étape 1 : $n = 2k+1$
Étape 2 : $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1$
Étape 3 : $n^2$ est impair

Conclusion : La proposition est vraie

20 Exercice 20

$x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$

$x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)$
✅ Solution
Par contraposée : $(x+1)(y-1) = (x-1)(y+1) \Rightarrow x = y$
Étape 1 : $xy - x + y - 1 = xy + x - y - 1$
Étape 2 : $-x + y = x - y$
Étape 3 : $2y = 2x \Rightarrow x = y$

Conclusion : La proposition est vraie

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