✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
✦ ✧ ✦ ✧ ✦
Retour aux séries

Série 4 - Logique mathématique

Exercices 31 à 40

31 Exercice 31

$P: (\forall x \in \mathbb{R}^*) : x + \frac{1}{x} \geq 2$ est fausse
✅ Solution
Contre-exemple : $x = -1$
Vérification : $-1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2 < 2$

Conclusion : La proposition est fausse

(La propriété est vraie pour $x > 0$ seulement)

32 Exercice 32

$f(x) = 2x^2 - x + 3$

Montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire
✅ Solution
Étape 1 : $f(-x) = 2(-x)^2 - (-x) + 3 = 2x^2 + x + 3$
Étape 2 : $f(x) = 2x^2 - x + 3$
Étape 3 : $f(-x) \neq f(x)$ (car $-x \neq x$)
Étape 4 : $f(-x) \neq -f(x)$ (car $2x^2+x+3 \neq -2x^2+x-3$)

Conclusion : $f$ n'est ni paire ni impaire

33 Exercice 33

$P: \forall (a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4 : \begin{cases} a \neq b \\ c \neq d \end{cases} \Rightarrow a + c \neq b + d$ est fausse
✅ Solution
Contre-exemple : $a=0, b=1, c=2, d=1$
Vérification : $a \neq b$ ($0 \neq 1$) et $c \neq d$ ($2 \neq 1$)
Mais : $a + c = 0 + 2 = 2$ et $b + d = 1 + 1 = 2$

Conclusion : La proposition est fausse

34 Exercice 34

$P: (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x^2 - xy + y^2 = 0$ est fausse
✅ Solution
Contre-exemple : $x = 1$
Étape 1 : $1 - y + y^2 = 0 \Rightarrow y^2 - y + 1 = 0$
Étape 2 : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, pas de solution

Conclusion : La proposition est fausse

35 Exercice 35

$\forall x \geq 0 : x + \frac{1}{x} \geq 2$
✅ Solution
Étape 1 : $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}$
Étape 2 : $(x-1)^2 \geq 0$ et $x > 0$, donc $\frac{(x-1)^2}{x} \geq 0$

Conclusion : $x + \frac{1}{x} \geq 2$ pour tout $x > 0$

36 Exercice 36

$x \in \mathbb{R}$

$|x-1| \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq \frac{1}{x+1} \leq \frac{2}{3}$
✅ Solution
Étape 1 : $|x-1| \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq x-1 \leq \frac{1}{2}$
Étape 2 : $\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$
Étape 3 : $\frac{3}{2} \leq x+1 \leq \frac{5}{2}$
Étape 4 : $\frac{2}{5} \leq \frac{1}{x+1} \leq \frac{2}{3}$

Conclusion : L'équivalence est vraie

37 Exercice 37

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

$\sqrt{x^2 + 1} = 2x$
✅ Solution
Domaine : $x \geq 0$
Étape 1 : $\sqrt{x^2 + 1} = 2x \Rightarrow x^2 + 1 = 4x^2$
Étape 2 : $1 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3}$
Étape 3 : $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (car $x \geq 0$)

Conclusion : $S = \left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$

38 Exercice 38

$x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$

$|x-y| \leq 2\sqrt{x^2 + y^2 + xy}$
✅ Solution
Étape 1 : $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
Étape 2 : $x^2 + y^2 + xy \geq 0$ (car c'est une forme quadratique positive)
Étape 3 : $x^2 - 2xy + y^2 \leq 4(x^2 + y^2 + xy)$
Étape 4 : $0 \leq 3x^2 + 6xy + 3y^2 = 3(x+y)^2$

Conclusion : $|x-y| \leq 2\sqrt{x^2 + y^2 + xy}$

39 Exercice 39

1)
$(\forall (a,b) \in (\mathbb{R}^+)^2) : a + b = 0 \Leftrightarrow a = 0$ et $b = 0$
✅ Solution
⇒ : $a,b \geq 0$ et $a+b=0 \Rightarrow a=b=0$
⇐ : Si $a=b=0$, alors $a+b=0$

Conclusion : L'équivalence est vraie

2)

$x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$

$\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} = 2 \Leftrightarrow x = y = 0$
✅ Solution
⇒ : $\sqrt{x^2+1} \geq 1$ et $\sqrt{y^2+1} \geq 1$
Étape 1 : $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} = 2 \Rightarrow \sqrt{x^2+1} = 1$ et $\sqrt{y^2+1} = 1$
Étape 2 : $x^2 = 0$ et $y^2 = 0 \Rightarrow x = y = 0$
⇐ : Si $x=y=0$, alors $\sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$

Conclusion : L'équivalence est vraie

40 Exercice 40

$\forall n \in \mathbb{N} : 3^n \geq 1 + 2n$
✅ Solution

Par récurrence :

Initialisation : $n=0 \Rightarrow 3^0 = 1 \geq 1 + 0$ ✅
Hérédité : Supposons $3^n \geq 1 + 2n$
Étape 1 : $3^{n+1} = 3 \times 3^n \geq 3(1+2n)$
Étape 2 : $3 + 6n \geq 1 + 2n + 2 = 1 + 2(n+1)$

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$

Série 3 Série 5