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Série 3 - Logique mathématique

Exercices 21 à 30

21 Exercice 21

$n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$

Montrer que $n \times p$ est pair ou $n^2 - p^2$ est un multiple de 8
✅ Solution
Cas 1 : Si $n$ ou $p$ est pair, alors $np$ est pair
Cas 2 : Si $n$ et $p$ sont impairs
Étape 1 : $n = 2k+1$ et $p = 2l+1$
Étape 2 : $n^2 - p^2 = (n-p)(n+p)$
Étape 3 : $n-p$ et $n+p$ sont pairs, donc $n^2 - p^2$ est multiple de 4
Étape 4 : $(n-p)(n+p) = 2 \times 2 \times k = 4k$, donc multiple de 8

Conclusion : La proposition est vraie

22 Exercice 22

$a > 0$ et $b > 0$

$\frac{a}{1+b} = \frac{b}{1+a} \Rightarrow a = b$
✅ Solution
Étape 1 : $\frac{a}{1+b} = \frac{b}{1+a}$
Étape 2 : $a(1+a) = b(1+b)$
Étape 3 : $a + a^2 = b + b^2$
Étape 4 : $a^2 - b^2 + a - b = 0$
Étape 5 : $(a-b)(a+b) + (a-b) = 0$
Étape 6 : $(a-b)(a+b+1) = 0$
Étape 7 : $a+b+1 > 0$, donc $a-b = 0$

Conclusion : $a = b$

23 Exercice 23

$f(x) = x^2 + 2x$

Montrer qu'il n'existe pas de nombre positif $M$ tel que $f(x) \leq M$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
✅ Solution
Étape 1 : $f(x) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$
Étape 2 : Quand $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$
Étape 3 : Donc $f$ n'est pas majorée sur $\mathbb{R}$

Conclusion : Il n'existe pas de $M$

24 Exercice 24

Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
✅ Solution

Par l'absurde : Supposons $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$

Étape 1 : $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p,q \in \mathbb{Z}^*$ et $pgcd(p,q) = 1$
Étape 2 : $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$
Étape 3 : $p^2$ est pair, donc $p$ est pair ($p = 2k$)
Étape 4 : $4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$
Étape 5 : $q$ est pair aussi, contradiction avec $pgcd(p,q) = 1$

Conclusion : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

25 Exercice 25

$a,b \in \mathbb{Q}$

1)
$a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a = b = 0$
✅ Solution
Étape 1 : $a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a = -b\sqrt{2}$
Étape 2 : Si $b \neq 0$, alors $\sqrt{2} = -\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$
Étape 3 : Contradiction avec $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
Étape 4 : Donc $b = 0$ et $a = 0$

Conclusion : $a = b = 0$

2)
$a + b\sqrt{2} = a' + b'\sqrt{2} \Rightarrow a = a'$ et $b = b'$
✅ Solution
Étape 1 : $a - a' + (b - b')\sqrt{2} = 0$
Étape 2 : D'après 1), $a - a' = 0$ et $b - b' = 0$

Conclusion : $a = a'$ et $b = b'$

26 Exercice 26

$A = \{1, 2, 3, ..., n\}$ avec $n$ impair

$\exists i \in A / x_i - i$ est pair
✅ Solution

Par l'absurde : Supposons que $x_i - i$ est impair pour tout $i$

Étape 1 : $x_i$ et $i$ ont des parités différentes pour tout $i$
Étape 2 : $x_i$ est une permutation de $1, 2, ..., n$
Étape 3 : Le nombre de pairs dans $A$ est $\frac{n-1}{2}$ (car $n$ impair)
Étape 4 : Contradiction car les parités ne peuvent pas toutes être différentes

Conclusion : $\exists i$ tel que $x_i - i$ est pair

27 Exercice 27

$P: (\forall x \in [0;1]) : x^2 \geq x$ est fausse
✅ Solution
Contre-exemple : $x = \frac{1}{2}$
Vérification : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$

Conclusion : La proposition est fausse

28 Exercice 28

$P: (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x^2 + y^2 \geq x + y$ est fausse
✅ Solution
Contre-exemple : $x = y = \frac{1}{2}$
Vérification : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} < 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Conclusion : La proposition est fausse

29 Exercice 29

$P: (\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) : \sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ est fausse
✅ Solution
Contre-exemple : $a = b = 1$
Vérification : $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \neq 2 = 1 + 1$

Conclusion : La proposition est fausse

30 Exercice 30

« Tout entier positif est somme de trois carrés » est fausse
✅ Solution
Contre-exemple : $7$
Vérification : $7 = 4 + 1 + 1 + 1$ (4 carrés) ou $7 = 4 + 1 + 1 + 1$
Les carrés : $0^2, 1^2, 2^2, 3^2$
Combinaisons : $1+1+4=6$, $1+1+1=3$, $4+4+4=12$

Conclusion : 7 n'est pas somme de trois carrés

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