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Exercice 9

Éclair - Tension, énergie et puissance Niveau : Difficile

1 Énoncé

Le champ électrique atmosphérique sous un nuage orageux est de l'ordre de $20\text{ kV/m}$. En moyenne, un éclair transporte $Q = 5\text{ C}$. Les nuages d'orages se situent en moyenne à $5000\text{ m}$ du sol. Un éclair dure en moyenne $25\text{ ms}$.

1. Quelle est la tension $U$ entre le sol et le nuage ?

2. Quelle est l'énergie et la puissance d'un éclair d'orage ?

3. Un orage a un nombre d'éclairs très variable, entre 10 et plusieurs milliers. Disons en moyenne $100$ éclairs.

3.1. Quelle est l'énergie moyenne produite par un orage ?

3.2. Il y a environ $1$ million d'éclairs par an. Sachant qu'un foyer consomme une puissance moyenne de $4\text{ kW}$. Quel est le nombre de foyers que cette énergie pourrait alimenter en électricité pendant un an ?

Éclair - Transfert d'énergie entre le nuage et le sol

Calculer la tension $U$ entre le sol et le nuage.

✅ Solution

Rappel :

$$U = E \times d$$

Où $E$ est le champ électrique (V/m) et $d$ la distance (m).

Conversion :

$$E = 20\text{ kV/m} = 20 \times 10^3 = 20000\text{ V/m}$$

Application numérique :

$$U = 20000 \times 5000 = 100000000\text{ V}$$ $$U = 1,0 \times 10^8\text{ V} = 100\text{ MV}$$

Réponse
                                    $$U = 1,0 \times 10^8\text{ V} = 100\text{ MV}$$
                                

Calculer l'énergie $E_{éclair}$ et la puissance $P_{éclair}$.

✅ Solution

Rappel :

$$E = U \times Q$$ $$P = \frac{E}{\Delta t}$$

Conversion du temps :

$$\Delta t = 25\text{ ms} = 25 \times 10^{-3} = 0,025\text{ s}$$

Énergie d'un éclair :

$$E_{éclair} = 1,0 \times 10^8 \times 5 = 5,0 \times 10^8\text{ J}$$ $$E_{éclair} = 500\text{ MJ}$$

Puissance d'un éclair :

$$P_{éclair} = \frac{5,0 \times 10^8}{0,025} = 2,0 \times 10^{10}\text{ W}$$ $$P_{éclair} = 20\text{ GW}$$

Réponses
                                    $$E_{éclair} = 5,0 \times 10^8\text{ J} \quad ; \quad P_{éclair} = 2,0 \times 10^{10}\text{ W}$$
                                

3.1.

Calculer l'énergie moyenne produite par un orage ($100$ éclairs).

✅ Solution

Application numérique :

$$E_{orage} = 100 \times E_{éclair} = 100 \times 5,0 \times 10^8$$ $$E_{orage} = 5,0 \times 10^{10}\text{ J}$$

Conversion en $\text{kWh}$ :

$$E_{orage} = \frac{5,0 \times 10^{10}}{3,6 \times 10^6} \approx 1,39 \times 10^4\text{ kWh}$$

Réponse
                                    $$E_{orage} = 5,0 \times 10^{10}\text{ J} \approx 1,39 \times 10^4\text{ kWh}$$
                                

3.2.

Nombre de foyers alimentés pendant un an.

✅ Solution

Énergie totale des éclairs par an :

$$E_{total} = 10^6 \times E_{éclair} = 10^6 \times 5,0 \times 10^8$$ $$E_{total} = 5,0 \times 10^{14}\text{ J}$$

Conversion en $\text{kWh}$ :

$$E_{total} = \frac{5,0 \times 10^{14}}{3,6 \times 10^6} \approx 1,39 \times 10^8\text{ kWh}$$

Énergie consommée par un foyer en 1 an :

$$E_{foyer} = 4\text{ kW} \times 365 \times 24 = 35040\text{ kWh}$$

Nombre de foyers :

$$N = \frac{E_{total}}{E_{foyer}} = \frac{1,39 \times 10^8}{35040} \approx 3967\text{ foyers}$$

Réponse
                                    $$N \approx 4,0 \times 10^3\text{ foyers}$$
                                

Remarque

L'énergie des éclairs est considérable : en moyenne, environ $4000$ foyers pourraient être alimentés pendant un an avec l'énergie de tous les éclairs de l'année.

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